Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Funcional - Operadores => Mensaje iniciado por: chnhe en 31 Marzo, 2022, 07:30 pm

Título: Ejercicio Operador
Publicado por: chnhe en 31 Marzo, 2022, 07:30 pm
Sea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}}  \) y sea el operador \(  T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\|  \).
b) ¿Es invertible? Si no lo es, considerar una restricción \( T_M  \) a un subespacio \( M \) de \( P_2 \), tal que \( T_M \) sea invertible. Calcular \( T_M^{-1} \) y \( \|T^{-1}\|  \).
Si alguien me podría ayudar con este ejercicio. Gracias de antemano.
Título: Re: Ejercicio Operador
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Abril, 2022, 09:20 am
Hola

Sea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}}  \) y sea el operador \(  T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\|  \).

El espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que dos es finito; un operador lineal en un espacio vectorial normado finito siempre es acotado.

Si llamas \( p(x)=ax^2+bx+c \) tienes:

\( \|p(x)\|^2=\displaystyle\int_{-1}^{-1}(ax^2+bx+c)^2dx=\ldots=\dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2 \)

\( T(p(x))=p'(x)=2ax+b \)

\( \|T(p(x))\|^2=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \)

La del operador es el supremo de \( \|T(p(x))\| \) cuando \( \|p(x)\|=1 \).

Tu problema es maximizar \( \dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \) bajo la restricción \( \dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2=1 \)

Citar
b) ¿Es invertible? Si no lo es, considerar una restricción \( T_M  \) a un subespacio \( M \) de \( P_2 \), tal que \( T_M \) sea invertible. Calcular \( T_M^{-1} \) y \( \|T^{-1}\|  \).

No es inversible porque el núcleo no es cero. Los polinomios constantes tiene derivada nula.

Pues tomar como \( M \) los polinomios de la forma \( ax^2+bx. \)

Saludos.
Título: Re: Ejercicio Operador
Publicado por: chnhe en 01 Abril, 2022, 11:23 am
Hola

Sea \( P_2 \) el espacio de polinomios reales de grado a lo sumo 2, con la norma \( \|p(x)\|=\left[\int _{-1}^1\:\left|p\left(x\right)\right|^2dx\right]^{\frac{1}{2}}  \) y sea el operador \(  T[p(x)]=\frac{d}{dx}p\left(x\right) \).
a) Si es acotado, calcular \( \|T\|  \).

El espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que dos es finito; un operador lineal en un espacio vectorial normado finito siempre es acotado.

Si llamas \( p(x)=ax^2+bx+c \) tienes:

\( \|p(x)\|^2=\displaystyle\int_{-1}^{-1}(ax^2+bx+c)^2dx=\ldots=\dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2 \)

\( T(p(x))=p'(x)=2ax+b \)

\( \|T(p(x))\|^2=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \)

La del operador es el supremo de \( \|T(p(x))\| \) cuando \( \|p(x)\|=1 \).

Tu problema es maximizar \( \dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \) bajo la restricción \( \dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2=1 \)
 

He intentado hacer lo de maximizarlo, pero no me sale y tampoco sé muy bien como aplicar la restricción. No sé si habría que derivar o algo, pero no sé como se hace. Gracias de antemano por la ayuda.

Título: Re: Ejercicio Operador
Publicado por: chnhe en 01 Abril, 2022, 09:52 pm
Si alguien me puede echar una mano con esto, gracias de antemano.
Título: Re: Ejercicio Operador
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Abril, 2022, 12:01 pm
Hola

 Puedes hacerlo por multiplicadores de Lagrange.
 
 Maximizar: \( f(a,b,c)=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2 \)

 bajo la restricción: \( \dfrac{2 a^2}{5}+\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2=1 \)

 Plantea la función:

\(  G(a,b,c,\lambda)=\dfrac{8a^2}{3}+2b^2+\lambda\left(\dfrac{4 a c}{3}+\dfrac{2 b^2}{3}+2 c^2-1\right) \)

 e iguala las cuatro derivadas parciales a cero. Resuelve y obtendrás los puntos críticos. Analiza donde se da el máximo.

Saludos.