¿Una cortadura en
R?
Supongamos que hay una cortadura, con las propiedades que has especificado.
Ahora deseamos describir el semiplano \( \{x<y\} \) como el producto \( A\times B \).
Como has dicho que \( A, B \), son no vacíos, podemos tomar ciertos elementos, digamos \( a\in A,b\in B \).
Ahora te pregunto si el par ordenado \( \mathbb{(}b,b+1\mathbb{)} \), que obviamente es un punto de \( \{x<y\} \), acaso pertenece a \( A\times B \).
Si perteneciera, entonces tendría que cumplirse, por def. de prod. cartesiano, que \( b\in A,b+1\in B \).
(arreglé una B que estaba mal 
)Luego, \( b\in B\cup A \).
Pero esto se contradice con el hecho de que \( A,B \), son disjuntos por ser \( A|B \) una cortadura.
La idea es fácil. El punto \( b \) es una cota superior de \( A \). O sea que desde \( b \) hacia la derecha, ningún punto puede ser de \( A \).
Pero aún a la derecha de \( b \) se pueden hallar puntos \( x \) que están "debajo" de la diagonal con ecuación \( x=y \).
El semiplano \( \{x<y\} \) está limitado por una recta en diagonal con ecuación \( y=x \).
Así que hay que seguir la idea de Morito en todo esto.
La demostración iría más o menos así.
Supongase que en verdad existen \( A,B \), subconjuntos \( \mathbb{R} \) tales que \( A\times B=\{(x,y)|x<y\} \).
Para que eso tenga sentido, \( A, B \), han de ser no vacíos.
Sea \( b\in B \).
Como \( b<b+1 \), resulta que \( (b,b+1)\in\{x<y\} \).
Como esto coincide con \( A\times B \) por hipótesis, escribimos \( (b,b+1)\in A\times B \).
Esto implica que \( b\in A,b+1\in B \).
Solo nos interesa lo que pasa con \( b \).
Hemos probado que, si \( b\in B \) entonces \( b\in A \).
Esto implica que \( B\subset A \).
Razonando de modo similar con \( a\in A \) y \( a-1<a \), obtendríamos la conclusión recíproca: \( A\subset B \).
Por lo tanto \( A=B \).
Sea ahora \( c\in A \), tenemos que \( c\in B \), y así \( (c,c)\in A\times B \).
Pero también tiene que cumplirse que \( c<c \), absurdo.
Esto muestra que no es posible expresar \( \{x<y\} \) como un producto \( A\times B \).
