[mathaus]

Buenas noches, estaba tratando de resolver un problema de ecuaciones diferenciales, el cual consiste:

Sea la ecuación diferencial

\( y'(x)+3y(x)=H_1(x)-H_2(x), 0<x<2 \)

\( y(0)=0, \)

Dónde \( H_{\alpha} \) es la función de Heaviside, Dada por:

\( H_{\alpha}(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x\leq{\alpha}\\1 & \text{si}& x>\alpha\end{cases} \)

Determinar si la ecuación diferencial tiene solución(es) y si esta es única. Encontrarla(s)

Por lo que tengo entendido la función Heaviside es una función definida a trozos, lo cual me induce a pensar que debo utilizar transformadas de Laplace, pero no sé cómo encontrar dicha solución y si esta es única.

Cualquier ayuda o sugerencia lo agradezco de antemano.

[ani_pascual]

Hola:

...
Cualquier ayuda o sugerencia lo agradezco de antemano.

Te sugiero, en efecto, aplicar la transformada de Laplace a la EDO; así
\( {\cal L}[y']+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2]\Longrightarrow
s{\cal L}[y]-y(0)+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2] \).
Si no estoy equivocado \( {\cal L}[H_{\alpha}]=\dfrac{e^{-\alpha s}}{s} \), así es que quedaría \( {\cal L}[y]=\dfrac{e^{-s}}{s(s+3)}-\dfrac{e^{-2s}}{s(s+3)} \).
Podrías ahora descomponer en fracciones simples y luego aplicar la transformada inversa de Laplace. A ver si te sale... 
Saludos

[mathaus]

Hola:

...
Cualquier ayuda o sugerencia lo agradezco de antemano.

Te sugiero, en efecto, aplicar la transformada de Laplace a la EDO; así
\( {\cal L}[y']+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2]\Longrightarrow
s{\cal L}[y]-y(0)+3{\cal L}[y]={\cal L}[H_1]-{\cal L}[H_2] \).
Si no estoy equivocado \( {\cal L}[H_{\alpha}]=\dfrac{e^{-\alpha s}}{s} \), así es que quedaría \( {\cal L}[y]=\dfrac{e^{-s}}{s(s+3)}-\dfrac{e^{-2s}}{s(s+3)} \).
Podrías ahora descomponer en fracciones simples y luego aplicar la transformada inversa de Laplace. A ver si te sale... 
Saludos

Hola,

Muchas gracias por tu acotación, sólo para estar seguro, me dió que el valor de y es igual a:

\( y=\frac{1}{3}e^{-3(x-2)}U(x-2)-\frac{1}{3}e^{-3(x-1)}U(x-1) \)

¿Es correcto mi resultado?

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

... me dió que el valor de y es igual a:

\( y=\frac{1}{3}e^{-3(x-2)}U(x-2)-\frac{1}{3}e^{-3(x-1)}U(x-1) \)

¿Es correcto mi resultado?

No sé muy bien qué representa la notación \( U(x-1) \) o \( U(x-2) \), aunque la expresión se parece bastante a la que he obtenido yo:

Spoiler

\(
y(x)=\dfrac{1}{3}(1-e^{3-3x})H_1(x)-\dfrac{1}{3}(1-e^{6-3x})H_2(x) \)

[cerrar]

A ver si algún otro forista nos saca de dudas
Saludos

[mathaus]

Hola,

Hola:
No sé muy bien qué representa la notación \( U(x-1) \) o \( U(x-2) \), aunque la expresión se parece bastante a la que he obtenido yo:

Spoiler

\(
y(x)=\dfrac{1}{3}(1-e^{3-3x})H_1(x)-\dfrac{1}{3}(1-e^{6-3x})H_2(x) \)

[cerrar]

A ver si algún otro forista nos saca de dudas
Saludos

Estaba revisando y mi \( U(x-1) y U(x-2) \) es esquivalente a \( H_1(x) y H_2(x) \) respectivamente.

Gracias por tu ayuda.
Saludos.