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Binomial Sum
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Tema: Binomial Sum
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
02 Mayo, 2024, 12:33 pm
Leído 110 veces
jacks
$$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Binomial Sum
The sum \( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}\frac{\binom{n+k}{k}}{\binom{n}{k}}\frac{2k-1}{n+k}= \)
En línea
04 Mayo, 2024, 02:29 am
Respuesta #1
Richard R Richard
Ingeniero Industrial
$$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Dentro de la ciencia todo,fuera de la ciencia nada
Re: Binomial Sum
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Sum%5B%5Cfrac%5C%28123%29%5Cbinom%5C%28123%29n%2Bk%5C%28125%29%5C%28123%29k%5C%28125%29%5C%28125%29%5C%28123%29%5Cbinom%5C%28123%29n%5C%28125%29%5C%28123%29k%5C%28125%29%5C%28125%29%5Cfrac%5C%28123%292k-1%5C%28125%29%5C%28123%29n%2Bk%5C%28125%29%2C%7Bk%2C1%2Cn%7D%5D&lang=es
It does not have a very simplified solution
En línea
Saludos \(\mathbb {R}^3\)
04 Mayo, 2024, 10:29 am
Respuesta #2
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
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Re: Binomial Sum
Hola
Cita de: Richard R Richard en 04 Mayo, 2024, 02:29 am
It does not have a very simplified solution
What about this?
\( \displaystyle \sum^{n}_{k=1}\frac{\binom{n+k}{k}}{\binom{n}{k}}\frac{2k-1}{n+k}=\displaystyle\binom{2n}{n}-1 \)
But, for now I don't know how to prove it
Best regards:
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04 Mayo, 2024, 10:38 pm
Respuesta #3
Richard R Richard
Ingeniero Industrial
$$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Dentro de la ciencia todo,fuera de la ciencia nada
Re: Binomial Sum
I try
$$\dfrac{\binom{n+k}{k}}{\binom{n}{k}}=$$$$\dfrac{\dfrac{(n+k)!}{n!\cancel{k!}}}{\dfrac{n!}{(n-k)!\cancel{k!}}}=$$$$\dfrac{(n+k)!(n-k)!}{n!^2}=\dfrac{\left[\prod\limits_{i=n-k+1}^{n+k}i\right]\cancel{(n-k)!^2}}{\left[\prod\limits_{i=n-k+1}^{n}i\right]^2\cancel{(n-k)!^2}}=$$$$\dfrac{\prod\limits_{i=n-k+1}^{n+k}i}{\left[\prod\limits_{i=n-k+1}^{n}i\right]^2}=$$
$$\dfrac{\prod\limits_{i=n+1}^{n+k}i}{\prod\limits_{i=n-k+1}^{n}i}=$$
$$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\left[\dfrac{\prod\limits_{i=n+1}^{n+k}i}{\prod\limits_{i=n-k+1}^{n}i}\right]\frac{2k-1}{n+k}=$$$$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\left[\dfrac{\prod\limits_{i=n+1}^{n+k-1}i}{\prod\limits_{i=n-k+1}^{n}i}\right](2k-1)=$$$$\displaystyle\binom{2n}{n}-1 $$
? I don't know Rick....
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Saludos \(\mathbb {R}^3\)
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