[Euthanasier]

La integral es sencilla, pero no sé por qué da la solución que da, a ver si alguien me la explica:

\( \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x(1+x^2)} \)

En el solucionario da: \( \ln|x|-\displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C \)

[DidacQCD]

Hola Euthanasier,

Para resolver usa la sustitución \( u=x^2;du=2xdx \). De esta forma la integral se reduce a:

\( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int{\dfrac{du}{u(u+1)}} \)

A partir de ahí esa fracción se puede reducir a fracciones parciales:

\( \dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u+1} \)

Y al integralos el resultado es efectivamente dos funciones logaritmo.

Un saludo

[Euthanasier]

Era fácil, pero no la estaba viendo, a veces que te bloqueas.
muchas gracias 

[Euthanasier]

A ver si ahora me podeis ayudar con estas:
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2+ln^2(x)}{x*ln(x)-x}dx \)

\( \displaystyle\int_{}^{}(2x+3)(2x+1)^10dx \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{x*cosx}{xsenx+cosx-1}dx \)

Y

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{(e^x+e^(-x))^2}dx \)

[ingmarov]

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2+ln^2(x)}{x*ln(x)-x}dx \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2+ln^2(x)}{x(ln(x)-1)}dx \)

Sea u=ln(x)\( \Rightarrow{du=\frac{dx}{x}} \)

Nos queda


\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2+u^2}{u-1}du \)

Otra

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{(e^x+e^{-x})^2}dx \)

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{e^{-2x}(e^{2x}+1)^2}dx=\int_{}^{}\displaystyle\frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}dx \)

Si \( u=e^{2x}\Rightarrow{du=2e^{2x}dx} \)

\( \frac{1}{2}\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{(u+1)^2} \)

[DidacQCD]

Hola,

Las otras dos:

para \( \displaystyle\int_{}^{}(2x+3)(2x+1)^{10}dx \)

ten en cuenta que es igual a
\( \displaystyle\int_{}^{}(2x+1+2)(2x+1)^{10}dx=\displaystyle\int_{}^{}[(2x+1)(2x+1)^{10}+2(2x+1)^{10}]dx= \)
\( \displaystyle\int_{}^{}[(2x+1)^{11}dx+2(2x+1)^{10}]dx \)

Y para \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{xcosx}{xsenx+cosx-1}dx \)

La verdad es que es curiosa, toma \( u=x\sin{x}+\cos{x}-1;du=\sin{x}+x\cos{x}-\sin{x}=x\cos{x} \), justo lo que tienes en el numerador.

Se transforma en \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{u} \)

Una función logaritmo.

Un saludo

[Euthanasier]

Muchas gracias muchachos