Otra manera, mucho menos elegante que la de Fernando, es por el Teorema de Muirhead. Desarrollando los productos, quieres demostrar que \( a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2\ge9abc \), lo que se traduce como \( 3[3,0,0]+6[2,1,0]\ge9[1,1,1] \), pero esta última desigualdad es inmediata pues \( [3,0,0]\ge[1,1,1] \) y \( [2,1,0]\ge[1,1,1] \).

Saludos, Héctor.

No pues... tú? qué conjeturas? Es raro que hayan mas de 100 profesores de matemáticas que digan que no saben por qué... Velo al revés.. Hay una cadena que se repite infinitas veces y eso lo hace racional. De hecho, quizás lo que preguntes es por qué con eso con basta para ser racional.

Saludos, Héctor.

Exáctamente, ¿qué has intentado? Es muy importante reconocer que este no es un foro para hacer tareas o resolver exámenes de último minuto.

Hola. Estoy buscando un ejemplo de un álgebra que no es generada por una topología. Pensé en el conjunto \( X=\{a,b,c\} \). Se sabe que este conjunto genera 29 topologías, y un álgebra sencilla puede ser \( \mathcal{A}=\{\emptyset, X, \{a\},\{b,c\}\} \). Pero demostrar que esta álgebra no es generada por ninguna de las topologías sería ir a pie con cada una de las 29. ¿Alguien sabe de algún ejemplo de álgebra que no sea generada por alguna topología?

Gracias de antemano.

Saludos, Héctor.

Hola Carlos. Así es. De hecho estaba pensando que, por ejemplo, como cualquier irracional es alcanzable por racionales, entonces al menos en teoría se puede construir un algoritmo, que depende del irracional, que lo aproxime tanto como queramos. Pero de igual forma me comienzan a salir ideas acerca de que el conjunto no está bien definido.

Saludos y gracias.

Puff... ya no pude avanzar más ayer.

Como hemos dicho, \( n\overline{X}=\sum_{i=1}^nX_i\sim\Gamma(n,\lambda) \). Sea \( Y=n\overline{X} \). Así, si \( Z=\frac{1}{\overline{X}} \), entonces \( Z=\frac{n}{Y} \).

Ahora bien, sea \( z\le 0 \). Entonces \( P(Y\le z)=0 \), ya que el soporte de \( Y \) es \( [0,\infty) \). Por tanto, podemos suponer que \( Z>0 \) casi siempre. Luego:

\( \begin{eqnarray*}
F_Z(z)&=&P(Z\le z)\\
&=&P\left(\frac{n}{Y}\le z\right)\\
&=&P\left(\frac{n}{z}\le Y\right)\\
&=&1-P\left(Y<\frac{n}{z}\right)\\
&=&1-F_Y\left(\frac{n}{z}\right),
\end{eqnarray*}
 \)

de donde \( f_Z(z)=\frac{n}{z^2}f_Y\left(\frac{n}{z}\right) \).

Por tanto

\( f_Z(z)=\dfrac{n}{z^2}\lambda e^{-\lambda n/z}\left(\dfrac{n\lambda}{z}\right)^{n-1}\dfrac{1}{(n-1)!}1_{(0,\infty)}(z) \)

Ahora <<basta>> con hacer \( n\to\infty \) en la expresión anterior para concluir. El problema es que no veo que sea sencillo calcular ese límite.

Saludos.

Me estás haciendo replantearme varias cosas... podrías decirme TODO el ejercicio inicial. Es decir, te piden hallar el estimador de máxima verosimilitud de quién: ¿De \( \lambda \) o de \( 1/\lambda \)? Y hallar un EIVUM de quién.

Lo que sucede es que \( \overline{X} \) sí es un EIVUM de \( 1/\lambda \). Por eso me entra la duda.

Saludos.
 

Pero si no es insesgado, entonces no posee EIVUM? El Estimador insesgado de varianza mínima no existe?

No no... el hecho de que el EMV no sea insesgado solo nos dice que no va a ser el EIVUM. Peeeeeeero... sucede que EN GENERAL NADA GARANTIZA LA EXISTENCIA DE TAL ESTIMADOR. Por eso es que en la práctica no se suele buscar. Por ejemplo, sabes que si un estimador insesgado alcanza la cota de Cramer-Rao, será un EIVUM (ya que los EIVUM ni siquiera deben ser en general únicos).  Pero nada te garantiza tampoco que existan estimadores insesgados que alcancen tal cota.

Peor aún: es posible que encuentres un EIVUM, pero tal estimador no tiene por qué alcanzar la cota de Crámer-Rao.

En resumen: Si un estimador insesgado alcanza la cota de Crámer-Rao, entonces es un EIVUM. Pero el recíproco no es cierto. Además los EIVUM no siempre existen, y en caso de existir, generalmente no son únicos.

Es por esas razones que en algún post de hace tiempo comentaba que en la práctica muchas de las fórmulas estadísticas aprendidas en la escuela dejan de servir.

el estimador es insesgado

Me gustaría ver tu procedimiento. ¿Lo puedes anotar, por favor?

Saludos.

Te mostraré para este ejercicio en particular, aunque deberías intentar demostrar que el método en general funciona:

Nota que

\(
\begin{eqnarray*}
\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{7\sqrt{5}}\right|&=&\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{3}{\sqrt{5}}}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{7\sqrt{5}}\right|\\
&=&\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}}}{x^2+x+1}+\dfrac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{7\sqrt{5}}\right|\\
&=&\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}}}{x^2+x+1}+\dfrac{3}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{7}\right)\right|\\
&=&\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}}}{x^2+x+1}+\dfrac{3}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{7-(x^2+x+1)}{7(x^2+x+1)}\right)\right|\\
&=&\dfrac{1}{|x^2+x+1|}\left|\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}}+\dfrac{3}{\sqrt{5}}(7-(x^2+x+1))\right|\\
&\le&\dfrac{1}{|x^2+x+1|}\left[\left|\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right|+\dfrac{3}{\sqrt{5}}|7-(x^2+x+1)|\right].\\
\end{eqnarray*}
 \)

En resumen, hemos probado que
\( \left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{7\sqrt{5}}\right|\le\dfrac{1}{|x^2+x+1|}\left[\left|\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right|+\dfrac{3}{\sqrt{5}}|7-(x^2+x+1)|\right]........(*) \)

Ahora daré por hecho que puedes utilizar que \( \lim_{x\to 2}\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}} \) y \( \lim_{x\to 2}x^2+x+1=7 \).

Del último límite se desprende que \( x^2+x+1 \) es acotada cerca del 2. En efecto: Como  \( \lim_{x\to 2}x^2+x+1=7 \), para \( 3.5 \) existe un \( \delta_1>0 \) tal que si \( 0<|x-2|<\delta_1 \) entonces \( |x^2+x+1-7|<3.5 \), de donde \( -3.5<x^2+x+1-7<3.5 \) y así se tiene que si \( 0<|x-2|<\delta_1 \) se concluye que \( 3.5<x^2+x+1<10.5 \), o bien, \( \dfrac{1}{10.5}<\dfrac{1}{x^2+x+1}<\dfrac{1}{3.5}...(**) \)

Así, sea \( \epsilon>0 \).

Para \( 3.5\epsilon/2 \), existe \( \delta_2>0 \) tal que si \( 0<|x-2|<\delta_2 \), entonces \( \left|\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right|<\dfrac{3.5}{2}\epsilon...(***) \)

Para \( 3.5\dfrac{\sqrt{5}}{6}\epsilon \), existe \( \delta_3>0 \) tal que si \( 0<|x-2|<\delta_3 \), entonces \( |x^2+x+1-7|<3.5\dfrac{\sqrt{5}}{6}\epsilon...(****) \)

Luego, si \( \delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\} \), entonces, si \( 0<|x-2|<\delta \), se tendrán \( (**),(***) \) y \( (****) \) simultáneamente, y sustituyendo en \( (*) \) se tiene que:

\(
\begin{eqnarray*}
\left|\dfrac{\sqrt{x-\frac{1}{5}}}{x^2+x+1}-\dfrac{3}{7\sqrt{5}}\right|&\le&\dfrac{1}{|x^2+x+1|}\left[\left|\sqrt{x-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right|+\dfrac{3}{\sqrt{5}}|7-(x^2+x+1)|\right]\\
&<&\dfrac{1}{3.5}\left[\dfrac{3.5}{2}\epsilon+\dfrac{3}{\sqrt{5}}3.5\dfrac{\sqrt{5}}{6}\epsilon\right]\\
&=&\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}\\
&=&\epsilon
\end{eqnarray*}
 \)

Saludos.