Bienvenidos al Minicurso Integral de Riemann1. MOTIVACIÓN
Considera la función \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \), que vale 1 en los números racionales y 0 en los irracionales.
¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Parecería dos segmentos de línea recta,uno de ellos \( y=0\; \(eje \;x\) \) sobre el que tendríamos que marcar solamente los puntos irracionales del mismo, y otro \( y=1 \) sobre el que tendríamos que marcar los puntos racionales.
La región del plano comprendida entre el intervalo \( [0,1] \) y la gráfica de \( f \) sería el conjunto formado por todos los segmentos verticales de altura 1 levantados sobre los puntos racionales de \( [0,1] \), y por todos los puntos del eje \( x \) sobre los números racionales del intervalo \( [0,1] \) (segmentos de altura 0 sobre los puntos racionales del intervalo \( [0,1] \)).
¿Tiene área este conjunto? Si decidimos que tiene área, su valor ¿es 0?, ¿es 1? ¿qué significado tiene la integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx \)?
Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto de área requiere ser precisado matemáticamente.
Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente se presenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones más usuales del cálculo integral puede valernos perfectamente la idea intuitiva de área o de volumen.
Sin embargo la integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía potencial en un campo de fuerzas.
______________________________________________________________ Fernando chamizo Lorente______________
2. Revisión de conceptos "Supremo e ínfimo" Demostraremos para su uso inmediato algunos resultados de supremo e ínfimo de conjuntos de números reales.
Un conjunto \( X \) de números reales, se dice acotado superiormente cuando existe \( b\in
\mathbb R \) tal que \( x\leq b \) para todo\( x\in X \). En este caso se
dice que \( b \) es una cota superior de \( X \). Analogamente, se dice que el
conjunto \( X \) está acotado inferiormente cuando existe \( a \in \mathbb
R \) tal que \( a\leq x \) para todo \( x\in X \). Entonces el número \( a \) es
una cota inferior de \( X \). Si \( X \) está acotado superiormente e
inferiormente se dice que es un conjunto acotado. Esto significa que
\( X \) está contenido en un intervalo acotado de la forma \( [a,b] \), o,
equivalentemente que existe un \( k>0 \) tal que \( x\in X \) \( \Rightarrow \)
\( |x|\leq k \)
Decimos UNA cota superior (respectivamente UNA cota inferior) ya que
cada numero mayor que \( b \) (respectivamente menor que \( a \)) también es una
cota superior (respectivamente es tambien una cota inferior). Un
conjunto carente de cotas superiores (respectivamente cotas
inferiores) se denomina no acotado superiormente (respectivamnete no
acotado inferiormente).
Definición 1 Sea \( X\subset \mathbb R \)acotado superiormente y no vacio. Un número
\( b\in \mathbb R \) se llama supremo del conjunto \( X \) cuando es la
menor de las cotas superiores de \( X \). De forma explícita, \( b \) es el
supremo de \( X \) cuando se cumple que:
\( \forall\; \epsilon>0,\;\exists\; x\in X\; / \; b-\epsilon <x \)
Escribiremos \( b=\sup X \) para indicar que \( b \) es el supremo del conjunto \( X \).
Definición 2 Sea \( X\subset \mathbb R \) acotado inferiormente y no vacio. Un número
\( a\in \mathbb R \) se llama ínfimo del conjunto \( X \) cuando es la mayor
de las cotas inferiores de \( X \). De forma explicita, \( a \) es el infimo
de \( X \) cuando se cumple que:
\( \forall\; \epsilon>0,\; \exists\; x\in X\; /\; a+\epsilon >x \)
Escribiremos \( a=\inf X \) para indicar que \( a \) es el ínfimo del conjunto \( X \).
Propiedad de la comparación Dados dos subconjuntos \( A \) y \( B \) no vacíos de \( \mathbb R \), tales que \( A\subset B \),
Si \( B \) está acotado superiormente, entonces \( A \) lo está y además se cumple que \( \sup A\leq \sup B \).
Lema 1 Sean \( A \) y \( B \) conjuntos acotados y \( c \in \mathbb R \).
Entonces los conjuntos \( A+B=\{x+y: x\in A, y\in B\} \), \( c.A=\{c.x: x\in A\} \) también están acotados. Y ademas se tiene que \( \sup(A+B)=\sup A +\sup B \), \( \inf(A+B)=\inf A+\inf B \), \( \sup(c.A)=c\sup A \) y \( \inf(c.A)=c\inf A \) cuando \( c\geq 0 \). Si \( c<0 \), entonces \( \sup(cA)=c\inf A \) e \( \inf(c.A)=c.\sup A \)
Demostración: Spoiler
Puesto que \( A \) y \( B \) están acotados, consideremos \( a=\sup A \) y \( b=
\sup B \).
Por definición, para todo \( x\in A \) e \( y\in B \) se tiene \( x\leq a \) e \( y\leq b \), luego \( x+y\leq a+b \).
Por tanto \( a+b \) es una cota superior de \( A+B \).
Veamos que tal cota superior es la mínima
Dado \( \epsilon>0 \) existen \( x_0 \in A \) y tales que
\( a-\epsilon/2< x_0 \) y \( b-\epsilon/2 < y_0 \), de donde \( a+b-\epsilon<x_0+y_0 \).
Por tanto, \( a+b \) es la menor cota superior de \( A+B \), es decir, \( \sup (A+B)=\sup A+\sup B \). \( \boxed{} \)
Se deja como ejercicio demostrar las propiedades que faltan.
