[anabella_mv]

Buenas noches, necesito ayuda con un verdadero y falso de repaso de un examen

a) Sean \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{}\mathbb{R^m} \) y \(  x_0 \in{}\mathbb{R^n} \). Entonces \( f \) es una transformación lineal si y sólo si \( {{d_x}_0}f=f \)


Muchas gracias por su atención, ojalá el parcial de mañana sea ameno

[Masacroso]

Buenas noches, necesito ayuda con un verdadero y falso de repaso de un examen

a) Sean \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{}\mathbb{R^m} \) y \(  x_0 \in{}\mathbb{R^n} \). Entonces \( f \) es una transformación lineal si y sólo si \( {{d_x}_0}f=f \)


Muchas gracias por su atención, ojalá el parcial de mañana sea ameno

Entiendo en este contexto que \( d_{x}f \) representa la derivada de \( f \) en \( x \). Entonces una dirección es trivial ya que si \( d_{x_0}f=f \) entonces \( f \) es lineal, ya que la derivada de una función en un punto es una función lineal. Por otro lado si \( f \) es lineal entonces la derivada de \( f \) en todo punto de su dominio es igual a \( f \), ya que si \( f \) es diferenciable tienes que

\( \displaystyle{
f(h)=f(x+h)-f(x)=d_{x}fh+o(\|h\|),\text{ para }h\to 0\\
} \)

Como la derivada es única y tomando \( d_{x}f=f \) para todo \( x \) es solución a la ecuación anterior, entonces tal identidad es verdadera.

[ancape]

Buenas noches, necesito ayuda con un verdadero y falso de repaso de un examen

a) Sean \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{}\mathbb{R^m} \) y \(  x_0 \in{}\mathbb{R^n} \). Entonces \( f \) es una transformación lineal si y sólo si \( {{d_x}_0}f=f \)


Muchas gracias por su atención, ojalá el parcial de mañana sea ameno

Entiendo en este contexto que \( d_{x}f \) representa la derivada de \( f \) en \( x \). Entonces una dirección es trivial ya que si \( d_{x_0}f=f \) entonces \( f \) es lineal, ya que la derivada de una función en un punto es una función lineal. Por otro lado si \( f \) es lineal entonces la derivada de \( f \) en todo punto de su dominio es igual a \( f \), ya que si \( f \) es diferenciable tienes que

\( \displaystyle{
f(h)=f(x+h)-f(x)=d_{x}fh+o(\|h\|),\text{ para }h\to 0\\
} \)

Como la derivada es única y tomando \( d_{x}f=f \) para todo \( x \) es solución a la ecuación anterior, entonces tal identidad es verdadera.

Hola

No estoy de acuerdo (tal vez me equivoque) con que si \( d_x f \) representa la derivada de \( f \) respecto a \( x \), entonces \( f \) es lineal \( \Leftrightarrow{} d_x=f \). Ya he dicho que no entiendo lo anterior pero tomado \( f=3x+5 \) que es lineal se tiene \( f'(x)=3 \neq f(x) \). Mas bien creo que \( d_x \) representa la diferencial de \( f \) en el punto \( x \), esto es, la aplicación lineal cuyos coeficientes son la derivadas. En todo caso, la conocida interpretación geométrica (a veces definición) de la diferencial como: una función es diferenciable en un punto sí y sólo si tiene plano tangente en ese punto (si \( n>2 \) hablaríamos de fibrado tangente), responde a la cuestión planteada.

Saludos

[Masacroso]

No estoy de acuerdo (tal vez me equivoque) con que si \( d_x f \) representa la derivada de \( f \) respecto a \( x \), entonces \( f \) es lineal \( \Leftrightarrow{} d_x=f \). Ya he dicho que no entiendo lo anterior pero tomado \( f=3x+5 \) que es lineal se tiene \( f'(x)=3 \neq f(x) \).

Esa función es afín pero no es lineal. En la escuela a veces a las funciones afines se les denomina lineales porque su gráfica es una recta, pero en matemáticas universitarias una función lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales, esto es, una función que cumple que \( f(\lambda \mathbf{v}+\nu \mathbf{w})=\lambda f(\mathbf{v})+\nu f(\mathbf{w}) \) para vectores \( \mathbf{v},\mathbf{w} \) y escalares \( \lambda ,\nu  \).

Mas bien creo que \( d_x \) representa la diferencial de \( f \) en el punto \( x \), esto es, la aplicación lineal cuyos coeficientes son la derivadas.

Es lo mismo esencialmente, el término "diferencial" y esa notación es propia de geometría diferencial pero hay un isomorfismo entre derivadas de funciones diferenciales y sus diferenciales entendidos como mapas entre fibrados tangentes dado simplemente por \( \partial f(x)\mapsto d_{x}f \), donde el lado de la izquierda es la derivada de \( f \) en \( x\in \mathbb{R}^n \). Pero esta pregunta que hace anabella_mv es tan elemental que dudo mucho que sea en el contexto de geometría diferencial, por eso asumo que por diferencial se refiere a la derivada, ya que esencialmente son lo mismo.

[ancape]

No estoy de acuerdo (tal vez me equivoque) con que si \( d_x f \) representa la derivada de \( f \) respecto a \( x \), entonces \( f \) es lineal \( \Leftrightarrow{} d_x=f \). Ya he dicho que no entiendo lo anterior pero tomado \( f=3x+5 \) que es lineal se tiene \( f'(x)=3 \neq f(x) \).

Esa función es afín pero no es lineal. En la escuela a veces a las funciones afines se les denomina lineales porque su gráfica es una recta, pero en matemáticas universitarias una función lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales, esto es, una función que cumple que \( f(\lambda \mathbf{v}+\nu \mathbf{w})=\lambda f(\mathbf{v})+\nu f(\mathbf{w}) \) para vectores \( \mathbf{v},\mathbf{w} \) y escalares \( \lambda ,\nu  \).

Bueno. Si no admites que una afinidad sea una función lineal, toma \( f(x)=3x \) que sí es lineal en el sentido que tú dices. Su derivada es \( 3 \) y claramente \( 3x\neq 3 \)

Mas bien creo que \( d_x \) representa la diferencial de \( f \) en el punto \( x \), esto es, la aplicación lineal cuyos coeficientes son la derivadas.

Es lo mismo esencialmente, el término "diferencial" y esa notación es propia de geometría diferencial pero hay un isomorfismo entre derivadas de funciones diferenciales y sus diferenciales entendidos como mapas entre fibrados tangentes dado simplemente por \( \partial f(x)\mapsto d_{x}f \), donde el lado de la izquierda es la derivada de \( f \) en \( x\in \mathbb{R}^n \). Pero esta pregunta que hace anabella_mv es tan elemental que dudo mucho que sea en el contexto de geometría diferencial, por eso asumo que por diferencial se refiere a la derivada, ya que esencialmente son lo mismo.

No es lo mismo derivada que diferencial. Cuando daba clases en la universidad, era bastante corriente que el alumno confundiese derivada en un punto con recta tangente en él, así podías leer en muchos exámenes: Luego la tangente de \( 3x^2+5 \) en \( x=1 \) es \( 6 \). Si además pedías el punto intersección con la recta \( 2x+3y=1 \), entonces muchos no respondían pero otros resolvían el sistema \( x=3 ; 2x+3y=1 \) ahora me hago una idea de donde venía el error. Yo no escribiría la frase "por diferencial se refiere a la derivada, ya que esencialmente son lo mismo"

Saludos

[Masacroso]

Bueno. Si no admites que una afinidad sea una función lineal, toma \( f(x)=3x \) que sí es lineal en el sentido que tú dices. Su derivada es \( 3 \) y claramente \( 3x\neq 3 \).

No es lo que yo admita o no, son las definiciones estándar que manejan los matemáticos y es el contexto en el que anabella_mv pregunta. Se pregunta por la derivada (o diferencial) en un punto, no la función derivada la cual no es lineal generalmente.

Se define la derivada en \( x\in A \) de una función \( f:A\to B \), siendo \( A \) y \( B \) espacios de Banach, como la única función lineal \( L \) que cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{h\to 0}\frac{\|f(x+h)-f(x)-Lh\|}{\|h\|}=0
} \)

No es lo mismo derivada que diferencial.

No he dicho que sean lo mismo, sino que son esencialmente lo mismo. En espacios euclídeos el espacio tangente es trivial, siendo idéntico a la variedad base, de ahí el isomorfismo que te comentaba.

Si tienes cualquier otra duda, o no me crees, coge un libro de cálculo en varias variables o geometría diferencial, o cualquier apunte sobre eso de cualquier universidad española, o del mundo si quieres. Estás desviando el tema del hilo y no tengo ganas de discutir sobre cosas que son muy claras para cualquier estudiante de matemáticas de primer año.

[ancape]

Hola

Veo que no tienes muy clara la diferencia entre isomorfismo e identidad. Voy a comentar algunas "perlas" que has escrito:

"no tengo ganas de discutir sobre cosas que son muy claras para cualquier estudiante de matemáticas de primer año."

Efectivamente, no creo que este estudiante pase del primer año cuando confunde derivada y tangente.

"Si tienes cualquier otra duda, o no me crees, coge un libro de cálculo en varias variables o geometría diferencial,...."

En ningún libro de los que he manejado identifica derivada y recta tangente. Te agradecería me indicases alguno.

"Se define la derivada en x∈A de una función f:A→B, siendo A y B espacios de Banach, como la única función lineal L que cumple..."

Yo creía que esa era la definición de diferencial. Que me digas que aplicaciones lineales y constantes son "esencialmente" lo mismo es como identificar \( \mathbb{R^2} \) y \( \mathbb{C} \) y por tanto estudiar las curvas planas como subconjuntos de los números complejos.

"Es lo mismo esencialmente, el término "diferencial" y esa notación es propia de geometría diferencial pero hay un isomorfismo entre derivadas de funciones diferenciales y sus diferenciales entendidos como mapas entre fibrados tangentes dado simplemente por \( ∂f(x)↦dxf, \) donde el lado de la izquierda es la derivada de \( f \) en \( x∈R^n \)"

¿Qué son mapas entre fibrados tangentes (aparte de lo bien que suena)?

".... ya que la derivada de una función en un punto es una función lineal"

Tomado de la primera respuesta a anabella_mv. (No aparece la palabra "Esencialmente")

"En espacios euclídeos el espacio tangente es trivial, siendo idéntico a la variedad base, de ahí el isomorfismo que te comentaba."

Esto me suena a aquellos generadores de frases en los que se escriben palabras en tres columnas y tomando una palabra de cada una se genera una frase que tiene sentido y podría pronunciarse en cualquier mitin.

En resumen, si eres aficionado a las matemáticas, como dice tu perfil en Geogebra, creo que deberías revisar algunos conceptos como la relación entre derivada y diferencial, o lo que escribiste en otro hilo: "No es cierta la igualdad \( z=ln(e^z) \) .

Saludos

[Samir M.]

Bueno. Si no admites que una afinidad sea una función lineal, toma \( f(x)=3x \) que sí es lineal en el sentido que tú dices. Su derivada es \( 3 \) y claramente \( 3x\neq 3 \)

Creo que hay una confusión de nomenclatura. Cuando se escribe \( f(x)=3x \) la transformación lineal no es \( 3x \) sino 3. Es una matriz \( 1\times 1 \) cuya única entrada es 3. La derivada (lo que vendría a ser el Jacobiano para mayores dimensiones) es esa matriz y es simplemente \( 3 \). Creo que lo que quieres decir es que en general, la aplicación \( df: \mathbb{R}^n \rightarrow L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m), \ a \mapsto (x\mapsto df_a x)
] \) no es lineal.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 ancape: dado tu historial en el foro, parece mentira que no seas más cuidadoso con lo que escribes; en particular en ser más respetuoso con tu interlocutor, independientemente de si piensas que está acertado o equivocado. El tonillo de superioridad aconsejándole que repase esto y aquello está totalmente fuera de lugar. Lo más triste (para ti) es que te deja en mal lugar, ya que tachas de "perlas" afirmaciones totalmente atinadas.

 Vaya por delante que la discusión diferencial vs derivada para referirse ambos a la misma cosa, es una discusión bastante vacía; es una pura cuestión de nombres y dependiendo del contexto pueden encontrarse ambas en la literatura.

 El llamarle de una u otra manera no varía el fondo de la respuesta que se le ha dado en principio a anabella_mv y que resuelve su ejercicio.

"Se define la derivada en x∈A de una función f:A→B, siendo A y B espacios de Banach, como la única función lineal L que cumple..."

Yo creía que esa era la definición de diferencial

.

Se le llama derivada o diferencial dependiendo del autor. Puedes ver aquí que le llaman derivada  (diría que en inglés y en espacios de Bannach es el término preferido):

https://mat.ug.edu.pl/idsmm/media/filmy/DiffBanach-Summary.pdf

o como aquí ya Fernando apunta los dos nombres:

https://fernandorevilla.es/2015/07/29/diferenciabilidad-entre-espacios-de-banach/

Que me digas que aplicaciones lineales y constantes son "esencialmente" lo mismo es como identificar \( \mathbb{R^2} \) y \( \mathbb{C} \) y por tanto estudiar las curvas planas como subconjuntos de los números complejos.

No. Es como identificar una aplicación lineal con su matriz asociada, lo cuál está a la orden del día.

"Es lo mismo esencialmente, el término "diferencial" y esa notación es propia de geometría diferencial pero hay un isomorfismo entre derivadas de funciones diferenciales y sus diferenciales entendidos como mapas entre fibrados tangentes dado simplemente por \( ∂f(x)↦dxf, \) donde el lado de la izquierda es la derivada de \( f \) en \( x∈R^n \)"

¿Qué son mapas entre fibrados tangentes (aparte de lo bien que suena)?

El fibrado tangente es la variedad formada por todos los espacios tangentes a una variedad diferenciable.

Una aplicación (map en inglés) diferenciable entre dos variedades diferenciables define en cada punto una aplicación en sus espacios tangentes (la diferencial/derivada) y globalmente una aplicación entre los fibrados tangentes.

Así bien: preguntando respetuosamente sobre las cosas que desconoces.

"En espacios euclídeos el espacio tangente es trivial, siendo idéntico a la variedad base, de ahí el isomorfismo que te comentaba."

Esto me suena a aquellos generadores de frases en los que se escriben palabras en tres columnas y tomando una palabra de cada una se genera una frase que tiene sentido y podría pronunciarse en cualquier mitin.

Pues supongo que te suena así por desconocimiento; pero a falta de que Masacroso lo explique mejor (si le apetece) te lo aclaro un poco: en el caso de un espacio euclídeo el espacio tangente es el mismo en todos sus puntos y además isomorfo (en todos los sentidos) al propio espacio euclídeo. El fibrado tangente es el fibrado trivial: por ejemplo para \( \Bbb R^n \) el fibrado tangente sería \( \Bbb R^n\times \Bbb R^n \).

En resumen, si eres aficionado a las matemáticas, como dice tu perfil en Geogebra, creo que deberías revisar algunos conceptos como la relación entre derivada y diferencial.

Por lo que ha mostrado en el foro, es un aficionado a las matemáticas (comparto su afición), autodidacta (creo) y con muy amplios conocimientos; diría bastante superiores al licenciado medio en esta materia. Y todo lo que ha escrito aquí (más allá del nombre que depende del autor) es totalmente atinado.

, o lo que escribiste en otro hilo: "No es cierta la igualdad \( z=ln(e^z) \)

En ese hilo Masacroso tenía TODA la razón del mundo; pensé que lo habías entendido después de todas las explicaciones que él (no encuentro el hilo ahora mismo) y otros usuarios te dieron en este otro con el mismo tema:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126484.msg518001#msg518001

Saludos.

[ancape]

Hola

 ancape: dado tu historial en el foro, parece mentira que no seas más cuidadoso con lo que escribes; en particular en ser más respetuoso con tu interlocutor, independientemente de si piensas que está acertado o equivocado. El tonillo de superioridad aconsejándole que repase esto y aquello está totalmente fuera de lugar. Lo más triste (para ti) es que te deja en mal lugar, ya que tachas de "perlas" afirmaciones totalmente atinadas.

 Vaya por delante que la discusión diferencial vs derivada para referirse ambos a la misma cosa, es una discusión bastante vacía; es una pura cuestión de nombres y dependiendo del contexto pueden encontrarse ambas en la literatura.

 El llamarle de una u otra manera no varía el fondo de la respuesta que se le ha dado en principio a anabella_mv y que resuelve su ejercicio.

La verdad es que me desanima este foro. Llevo muchos años estudiando e impartiendo clases de matemáticas y nunca había visto nada igual. Yo creía que las matemáticas deben ser la precisión tanto en los resultados como en las definiciones y resulta que aquí da lo mismo un 8 que un 80. ¿Cómo puedo explicar que no toda función derivable es diferenciable cuando hay definiciones que igualan ambos términos?. Nunca creí que tú, profesor de una Escuela de Caminos, y que has mostrado aquí resoluciones francamente geniales de problemas planteados, serías como aquellos alumnos que dicen que la derivada es la tangente, hallan la derivada en un punto y la exponen con un recuadro cuando se les pedía calcular la tangente en un punto. Efectivamente cuando hay un isomorfismo entre dos espacios, pueden identificarse pero sólo para la propiedades que conserva el isomorfismo.
 
Los números pares y los enteros son isomorfos (con el isomorfismo 2x) pero a nadie se le ocurriría enunciar una Conjetura de Goldbach para números enteros.
 

Se le llama derivada o diferencial dependiendo del autor. Puedes ver aquí que le llaman derivada  .....

Vuelvo a insistir en mi pregunta: ¿Cómo puedo explicar que no toda función derivable es diferenciable cuando hay definiciones que igualan ambos términos?.

Que me digas que aplicaciones lineales y constantes son "esencialmente" lo mismo es como identificar \( \mathbb{R^2} \) y \( \mathbb{C} \) y por tanto estudiar las curvas planas como subconjuntos de los números complejos.

No. Es como identificar una aplicación lineal con su matriz asociada, lo cuál está a la orden del día.

Una aplicación lineal puede tener muchas matrices asociadas dependiendo de las bases que se utilicen. Me cuesta entender que un concepto como el de aplicación lineal, se identifique como montones de matrices. Otra cosa es que algunas propiedades de las matrices asociadas se traduzcan en propiedades de la aplicación lineal que representan. Dada la matriz \( M \), ¿Cuál es la transformación lineal que representa?. Que la matriz \( M \) sea triangular ¿Dice algo sobre las transformaciones asociadas?

Así bien: preguntando respetuosamente sobre las cosas que desconoces

No era una pregunta respetuosa sobre algo que no conocía. Era una pregunta irónica sobre un tema que conozco muy a fondo.

Como dije antes, me desanima este foro y esa contención que hay que tener cuando ves que alguien expone conceptos totalmente equivocados y en lugar de decir abiertamente que los revise, hay que inventarse fórmulas que no hieran su sensibilidad. Estoy pensando en darme de baja y buscar otra cosa.

Saludos