Hola
Tengo dos problemas de convergencia que no se bien como resolverlos:
(1) Sean \( {X_n}{Y_n} \) dos sucesiones de v.a.´s reales definidas en el mismo espacio probabilístico y tales que para todo \( n\in{}\mathbb{N} \) las variables están igualmente distribuidas
Demostrar que si \( {X_n}\longrightarrow{}_{c.p} (0) \) entonces \( {Y_n}\longrightarrow{}_{c.p} (0) \) donde c.p es convergencia en probabilidad.
Pero esto es muy inmediato de la definición, ¿no?.
Que \( {X_n}\longrightarrow{}_{c.p} (0) \) significa que para todo \( \epsilon>0 \),
\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{}P(|X_n-0|>\epsilon)=0 \)
si están igualmente distribuidas, \( P(|X_n-0|>\epsilon)=P(|Y_n-0|>\epsilon) \) y por tanto \( {Y_n}\longrightarrow{}_{c.p} (0) \).
(2)Sea \( {X_n} \) una sucesión de v.a.i.´s todas ellas con distribución \( U(0,\theta) \). Demostrar que \( M_n=sup\left\{{X_1.....X_n}\right\}\longrightarrow{}_{a.s} \theta \) donde a.s es convergencia casi segura.
Ten en cuenta que para \( t\in [0,\theta) \),
\( P(M_n\leq t)=P(X_1\leq t\cap X_2\leq t\cap \ldots\cap X_n\leq t)=(t/\theta)^n \)
y que si \( t\in [0,\theta) \), \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}(t/\theta)^n=0 \).
Saludos.