[Fernando Moreno]

Hola. Numero los párrafos para que sea más fácil de analizar. Gracias de antemano     


(1) Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

(2) Conocemos (Keith Conrad) que:  \( (c_0+c_1\zeta+\cdot\cdot+c_{p-2}\zeta^{p-2})^p\equiv c_0+c_1+\cdot\cdot+c_{p-2} \) mod \( p \) ,  para  \( c_0,c_1,.. \)  enteros usuales. Luego podemos considerar módulo  \( 3 \)  á  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  como si fuera  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  donde  \( a,b,c \)  serían enteros usuales y les podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las terceras potencias es divisible por  \( 3 \) .  Supongamos que sea  \( \gamma^3 \) .   Aquí hay un error. De lo que escribe Keith Conrad, lo único que se deduce es que  \( \alpha^p+\beta^p+\gamma^p\equiv a+b+c \) mod \( p \) .  Luego no puedo aplicar ahí el Teorema de Sophie Germain. Primero tendría que demostrar el caso en que  \( p \) ,  en este caso  \( 3 \) ,  no divide a ninguna de las variables. Por ahora lo dejo así, sólo para el caso en que  \( 3 \)  sí divide a una de las variables.

(3) Como en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  \( 3 \)  es igual á  \( -\omega^2\lambda^2 \) ,  siendo  \( -\omega^2 \)  una unidad de este anillo -y-  \( \lambda \)  el primo  \( 1-\omega \) .  Y además:  \( -\gamma^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \) .  Donde es claro que estos dos últimos factores son coprimos salvo por  \( 3 \) .  Entonces  \( 3 \) ,  como mínimo, y por tanto  \( \lambda^{2} \) ,  deben dividir á  \( \alpha+\beta \) .  Por lo que en definitiva  \( 9 \) ,  como mínimo, -y-  \( \lambda^{4} \)  dividen en realidad á  \( -\gamma^3 \) .  Lo que significa que  \( \lambda^{k+1} \) ,  para  \( k\in{N^+} \) ,  divide á  \( \gamma \) ,  -y- así:  \( e_1^3\cdot\lambda^{3k+3} \)  dividirá á  \( -\gamma^3 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{3k+1} \)  dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- sólo  \( 3=-\omega^2\cdot\lambda^2 \)  dividirá  á:  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \) ,  para  \( e_{1,2} \)  unidades del anillo.   

(4) Sabemos que todas estas unidades al cubo son de la forma  \( \pm 1 \) .  Por tanto tendremos, sin perder generalidad, que  \( -\gamma^3=-\lambda^{3k+3}\gamma'\,^3 \)  ,  \( \alpha+\beta=\omega\lambda^{3k+1}\delta^3 \)  -y-  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=-\omega^2\lambda^2\eta^3 \) ,  para unos  \( \delta,\eta \)  enteros de Eisenstein coprimos entre sí -y-  \( \omega\cdot (-\omega^2)=-1 \) .  De esta forma  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}=\omega\delta'\,^3 \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2}=-\omega^2\eta^3 \)  serán coprimos y terceras potencias (salvo unidades). 

(5) Luego:  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) .  Donde  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  serán coprimos y terceras potencias también, salvo unidades.  Pues de la suma de:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\omega+\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{2\alpha-\beta}{\lambda} \) ,  ya que  \( \omega+\omega^2=-1 \) .  Y de su diferencia:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{\beta(\omega-\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{\beta\omega(1-\omega)}{\lambda}=\beta\omega \) .  Se desprende que no tienen ningún divisor en común, pues  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \)  son coprimos;  \( \beta \)  no es par, porque si no ambos factores:  \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}\right) \) ,  serían coprimos salvo por  \( 2 \)  -y-  \( 4 \)  debería dividir á  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta \)  que no puede ser par y por último:  \( \lambda \)  divide á  \( 2\alpha-\beta \)  porque divide á  \( \alpha+\beta \) .   

(6) Resalto que la unidad real, en este caso  \( \pm 1 \) ,  que tomo sin perder generalidad como  \( 1 \) ,  es la única que asocio al factor  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \) .  Esto mismo haré en el caso del UTF5, que expondré a continuación como prueba de un razonamiento general por inducción.    

(7) Ahora hay que demostrar que en  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3 \) ,  para un cubo  \( \mu_1^3 \)  de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  la unidad  \( \epsilon_1 \)  es de la forma  \( \pm 1 \) .  Tenemos que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3}=\eta^3 \)  es una tercera potencia perfecta. Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3\epsilon_2\mu_2^3=\eta^3 \) ,  para  \( \mu_2^3 \)  un cubo de  de  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y-  \( \epsilon_1\cdot\epsilon_2=1 \)  -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos.   

(8) Sabemos por este Lema 3 de Carlos Ivorra, que si  \( \lambda\nmid\alpha' \) ,  para un  \( \alpha' \)  elemento de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  entonces  \( \alpha'\,^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) .  Como  \( \alpha,\beta \)  serán congruentes con un  \( e'\rho \)   módulo  \( 9 \) ,  para  \( \rho \)  un elemento de  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y-  \( e' \)  una unidad. Tendremos que  \( \alpha\equiv e'\rho \) mod \( 9 \)  -y-  \( \beta\equiv-e'\rho \) mod \( 9 \) ,  puesto que  \( \alpha+\beta\equiv 0 \) mod \( (9=\omega\lambda^4) \) .     

(9) Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\omega=\lambda\epsilon_1\mu_1^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\omega\equiv\lambda\epsilon_1\mu_1^3 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho-e'\rho\omega\equiv\pm\lambda\epsilon_1 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\omega)\equiv\pm\lambda\epsilon_1 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( \lambda(e'\rho\mp\epsilon_1)\equiv 0 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\equiv\pm\epsilon_1 \) mod \( (3=-\omega^2\lambda^2) \) .  Por otra parte:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\epsilon_2\mu_2^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha\omega-\beta=\lambda\epsilon_2\mu_2^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha\omega-\beta\equiv\lambda\epsilon_2\mu_2^3 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( -e'\rho\omega+e'\rho\equiv\pm\lambda\epsilon_2 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(-\omega+1)\equiv\pm\lambda\epsilon_2 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( \lambda(-e'\rho\mp\epsilon_2)\equiv 0 \) mod \( 9 \)  \( \Rightarrow \)  \( -e'\rho\equiv\pm\epsilon_2 \) mod \( 3 \) .  Pero como teníamos que  \( e'\rho\equiv\pm\epsilon_1 \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( \mp\epsilon_1\equiv\pm\epsilon_2 \) mod \( 3 \) .        

(10) De esta manera, como por (7):  \( \epsilon_1\cdot\epsilon_2=1 \)  -y-  \( \epsilon_1\cdot\epsilon_2\equiv 1 \) mod \( 3 \) .  Será que  \( \mp\epsilon_2\cdot\pm\epsilon_2\equiv 1 \) mod \( 3 \) .  Ahora bien, si  \( \epsilon_2\equiv\omega^{1,2} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( (\mp\epsilon_2)^2=(\omega^{1,2})^2\not\equiv 1 \) mod \( 3 \) .   Así,   \( \pm\epsilon_2 \)  debe ser congruente con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 3 \)  -y- por tanto  \( \pm\epsilon_1\equiv\mp 1 \) mod \( 3 \) ;  siendo  \( \pm\epsilon_1,\pm\epsilon_2 \)  de la forma  \( \pm 1 \) ,  pues no pueden ser otra cosa módulo  \( 3 \) .    

(11) Hacemos ahora esta resta:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega) \) ,  porque  \( \dfrac{1}{-\omega^2}=-\omega \) .  Y nos encontramos con lo siguiente; por una parte:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda} \)  son dos terceras potencias perfectas en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y- por otra:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega) \) .  Y si seguimos desarrollando:  \( \dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(-\omega^2)=-\lambda^{3k}\delta^3 \) .  Es decir, otro cubo perfecto en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Por lo que tenemos que si:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\alpha'\,^3 \)  ,  \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda}=-\beta'\,^3 \)  -y-  \( -\lambda^{3k}\delta^3=-\gamma''\,^3 \) ;  será que:  \( \alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma''\,^3=0 \) .  Pero ahora sólo  \( \lambda^{3k} \)  divide á  \( \gamma''\,^3 \) . 

(12) Si aplicamos todo este razonamiento a esta última ecuación y lo repetimos una y otra vez, nos llevará a un descenso infinito de potencias de  \( \lambda \) ,  que será múltiplo siempre de uno de los cubos de una suma de tres igual a cero en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y- donde a su vez el valor de  \( k \)  tenderá a hacerse indeterminadamente grande.   

(13) Supongamos ahora en el anillo  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) ,  para  \( \zeta_5 \)  la raíz primitiva quinta de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

(14) Conocemos (Keith Conrad) que módulo  \( 5 \) :  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) ,  es como si fuera  \( a^5+b^5+c^5=0 \) ,  donde  \( a,b,c \)  serían enteros usuales y les podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las quintas potencias es divisible por  \( 5 \) .  Supongamos que sea  \( \gamma^5 \) .  .  Lo único que dice Keith Conrad es que  \( \alpha^p\equiv a \) mod \( p \) .  Suponemos a partir de ahora que  \( 5 \)  divide a una de las variables y dejo para otro momento el caso en el que  \( 5 \)  no divide a ninguna.

(15) Como en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) ,  \( 5 \)  es igual á  \( (\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4 \) ,  siendo  \( (\zeta+\zeta^2)^2 \)  una unidad de este anillo -y-  \( \lambda \)  el primo  \( 1-\zeta \) .  Y además:  \( -\gamma^5=\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) .  Donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por  \( 5 \) .  Entonces  \( 5 \) ,  como mínimo, y por tanto  \( \lambda^{4} \) ,  deben dividir á  \( \alpha+\beta \) .  Por lo que en definitiva  \( 25 \) ,  como mínimo, -y-  \( \lambda^{8} \)  divide en realidad á  \( -\gamma^5 \) .  Lo que significa que por lo menos  \( \lambda^{k+1} \) ,  para  \( k\in{N^+} \) ,  divide á  \( \gamma \) ,  -y- así:  \( e_1^5\cdot\lambda^{5k+5} \)  dividirá á  \( -\gamma^5 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{5k+1} \)  dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- sólo  \( 5=(\zeta+\zeta^2)^2\cdot\lambda^4 \)  dividirá  á:  \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) ,  para  \( e_{1,2} \)  unidades del anillo.   

(16) Sabemos (Carlos Ivorra (1)) que todas las unidades  \( (e) \)  de este anillo son de la forma  \( e=\pm\zeta^m\varepsilon^n \) ,  para  \( \varepsilon=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=-\zeta^3-\zeta^2 \)  (la unidad real);  \( m=0,1,2,3,4 \)  -y-  \( n \)  un entero. Luego  \( e_1^5 \)  será igual á  \( \varepsilon^{5q} \) ,  para un  \( q\in\mathbb{N^+} \) ,  -y-  \( e_2=\zeta^2\varepsilon^{5q-2} \) ;  ya que la unidad  \( (\zeta+\zeta^2)^2 \)  es de esta forma:  \( \zeta^3\varepsilon^2 \)  -y- debe darse que:  \( \varepsilon^{5q}=\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\cdot\zeta^3\varepsilon^2 \) .   

(17) Tendremos pues que  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4=5} \)  serán coprimos y quintas potencias perfectas.   

Y como  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4}=\dfrac{(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \) .     


Si:  \( -\epsilon^{5q}\lambda^{5k+5}\gamma'\,^5=(\alpha+\beta)(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4) \) ;  entonces:     


 \( -\lambda^{5k}\gamma'\,^5=\left(\dfrac{\alpha+\beta}{\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}\right) \) .     


Pues en los cuatro últimos factores tendremos que  \( \varepsilon^4\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^4=\varepsilon^2 \)  -y-  \( \zeta^2\cdot\zeta^2\cdot\zeta^4=\zeta^3 \) .   
 
(18) Ahora hay que demostrar que:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \)  ,   \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda} \)  son quintas potencias salvo unidades.  No es difícil deducir que los factores  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda} \)  son coprimos. Veámoslo. Por una parte, de la suma de estos términos dos a dos:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)}{\lambda} \) ,  para unos  \( r,s \)  definidos entre  \( 1 \)  -y-  \( 4 \)  (incluidos) -y-  \( r<s \) ,  donde  \( \zeta^r+\zeta^s \)  es una unidad. Por otra parte, de su diferencia:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{\beta(\zeta^r-\zeta^s)}{\lambda} \) ;  donde siempre se dará:  \( \dfrac{\beta\cdot e\cdot(1-\zeta)}{\lambda}=e\beta \) ,  para  \( e \)  una unidad del anillo. Luego se desprende que entre los respectivos ambos términos (de las sumas y las restas) no hay ningún factor en común.  Pues primero hay que tener en cuenta que en las sumas, el numerador:  \( 2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)\equiv 2(\alpha+\beta) \) , al ser  \( \zeta\equiv 1 \) mod \( \lambda \)  -y-  \( \lambda \) ,  del denominador, dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- segundo, que  \( \beta \)  no es par, porque si no los factores  \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda}\right) \)  serían coprimos salvo por  \( 2 \)  -y-  \( 16 \)  dividiría á  \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \)  que no puede ser par.   

(19) Como  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5 \) ,  para una quinta potencia  \( \mu_1^5 \)  de  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) ,  tenemos que averiguar si la unidad  \( e_1 \)  es de la forma  \( \pm 1 \) .  Vimos que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \)  es una quinta potencia perfecta  (\( \eta^5 \)) .  Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5\cdot e_2\mu_2^5\cdot e_3\mu_3^5\cdot e_4\mu_4^5=\eta^5 \) ,  para  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4=1 \)  -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos (de aquí en adelante).   

(20) Sabemos por (14) que  \( \alpha^5,\beta^5\equiv(\pm 1,\pm 2) \) mod \( 5 \) .  Como  \( \alpha,\beta \)  serán congruentes con un  \( e'\rho \) mod \( (5=(\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4) \)  -y- por tanto: mod \( \lambda^3 \) ,  mod \( \lambda^2 \)  ó  mod \( \lambda \) ;  para  \( \rho \)  un elemento de  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \)  -y-  \( e' \)  una unidad.  Tendremos que  \( \alpha\equiv e'\rho \) mod \( 5 \)  -y-  \( \beta\equiv-e'\rho \) mod \( 5 \) ,  puesto que  \( \alpha+\beta\equiv 0 \) mod \( 5 \) .          

(20.1) Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\zeta=\varepsilon^4\lambda e_1\mu_1^5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\zeta\equiv\varepsilon^4\lambda e_1\mu_1^5 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho-e'\rho\zeta\equiv\varepsilon^4\lambda(\pm 1,\pm 2)e_1 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta)\equiv\varepsilon^4\lambda(\pm 1,\pm 2)e_1 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\lambda\varepsilon^{-4}\dfrac{1}{\pm 1,\pm 2}\equiv\lambda e_1 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \lambda(e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)-e_1)\equiv 0 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\equiv e_1 \) mod \( \lambda^3 \) .   

(20.2) Simplifico a continuación: 

\( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}=e_2\mu_2^5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\zeta^2\equiv\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda(\pm 1\pm 2)e_2 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta^2)\equiv\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda(\pm 1\pm 2)e_2 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta)(1+\zeta)\zeta^{-2}\varepsilon^3(\pm 1,\pm 2)\equiv\lambda e_2 \) mod \( 5 \) . Y como  \( 1+\zeta=-\zeta^3\varepsilon \)  \( \Rightarrow \)  \( -e'\rho\lambda\zeta\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)\equiv \lambda e_2 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\lambda(e'\rho\zeta\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)+e_2)\equiv 0 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\zeta\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)\equiv -e_2 \) mod \( \lambda^3 \) .            

\( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}=e_3\mu_3^5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\zeta^3\equiv\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda(\pm 1\pm 2)e_3 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta^3)\equiv\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda(\pm 1\pm 2)e_3 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta)(1+\zeta+\zeta^2)\zeta^{-2}\varepsilon^3(\pm 1,\pm 2)\equiv\lambda e_3 \) mod \( 5 \) . Y como  \( 1+\zeta+\zeta^2=\zeta\varepsilon \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\lambda\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)\equiv \lambda e_3 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \lambda(e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)-e_3)\equiv 0 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1\pm 2)\equiv e_3 \) mod \( \lambda^3 \) .           

\( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=e_4\mu_4^5 \)  \( \Rightarrow \)  \( \alpha+\beta\zeta^4\equiv\zeta^4\varepsilon^4\lambda(\pm 1\pm 2)e_4 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta^4)\equiv\zeta^4\varepsilon^{4}\lambda(\pm 1\pm 2)e_4 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho(1-\zeta)(1+\zeta)(1+\zeta^2)\zeta^{-4}\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\equiv\lambda e_4 \) mod \( 5 \) . Y como  \( (1+\zeta)(1+\zeta^2)=-\zeta^3\varepsilon\cdot\zeta\varepsilon^{-1} \)  \( \Rightarrow \)  \( -e'\rho\lambda\varepsilon^{-4}(\pm 1\pm 2)\equiv \lambda e_4 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\lambda(e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1\pm 2)+e_4)\equiv 0 \) mod \( 5 \)  \( \Rightarrow \)  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1\pm 2)\equiv -e_4 \) mod \( \lambda^3 \) .         
 
(21) De esta manera:  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4\equiv e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\zeta\varepsilon^4(\pm 1,\pm 2)\right)\cdot e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\right) \) mod \( \lambda^3 \) .  Y como  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\equiv e_1 \) mod \( \lambda^3 \) ,  entonces:  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\zeta\varepsilon^4(\pm 1,\pm 2)\right)\cdot e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\right)\equiv e_1\cdot(-\zeta\varepsilon^8e_1)\cdot\zeta^4\varepsilon^8e_1\cdot(-e_1)=e_1^4\varepsilon^{16} \) mod \( \lambda^3 \) .  Pero por (19):  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4=1 \)  -y-  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4\equiv 1 \) mod \( \lambda^3 \) .  En consecuencia:  \( e_1^4\varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^3 \)  -y-  \( e_1^4\varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .   Tenemos (Carlos Ivorra (2)) que  \( \varepsilon^4=-3\zeta^3-3\zeta^2+2=3\varepsilon+2=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+2=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{(\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4}}{2}+2 \) .  Donde  \( \dfrac{1}{2}\equiv 3 \) mod \( 5 \) ,  -y- entonces:  \( \varepsilon^4=\dfrac{3}{2}\cdot(1+(\zeta+\zeta^2)\lambda^2)+2\equiv 9\cdot(1+0)+2\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Luego si  \( \varepsilon^4\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Así:  \( e_1^4\equiv 1 \) mod \( (\lambda^2=(1-\zeta)^2=1+\zeta^2-2\zeta) \) ,  por lo que:  \( e_1\equiv\pm 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Y la única manera de que la unidad  \( e_1 \)  no sea de la forma  \( \pm 1 \)  es que:  \( e_1\equiv-\zeta^2+2\zeta=-\zeta(\zeta-2) \) mod \( 1+\zeta^2-2\zeta \)  -y-  \( e_1 \)  sea una unidad imaginaria.  Pero esto no puede ser, porque  \( \zeta-2 \)  no es una unidad imaginaria sino un número primo múltiplo de  \( 31 \)  (Carlos Ivorra (3)).

Por esta respuesta: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125610.msg512874#msg512874 ; me doy cuenta que lo de arriba no es exacto. Aunque sigo manteniendo que  \( e_1 \)  no puede ser una unidad imaginaria sí podría ser una unidad real distinta de  \( 1 \) . Si  \( e_1^4\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \)  -y-  \( e_1\equiv\pm 1 \) mod \( \lambda^2 \) ,  entonces pordría ser también de la forma  \( e_1=\varepsilon^{4} \) ,  puesto que  \( \varepsilon^{4,16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Sería incluso la opción más correcta. Me lo pienso y si acaso reescribo la demostración.

(22) Si hacemos a continuación esta suma:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) .  Nos encontraremos entonces con lo siguiente; por un lado:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \)  serán dos quintas potencias perfectas en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \)  -y- por otro:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta)=\dfrac{\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) ,  para un  \( \delta^5 \)  divisor de  \( \gamma'\,^5 \) .  Y como además  \( 1+\zeta=-\varepsilon\zeta^3 \) .  Si seguimos desarrollando:  \( \dfrac{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(\varepsilon\zeta^3)=-\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5 \) .  Es decir, otra quinta potencia perfecta en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) .  Por lo que tenemos que si:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\alpha'\,^5 \)  ,  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\beta'\,^5 \)  -y-  \( -\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5=-\gamma''\,^5 \) ;  será que:  \( \alpha'\,^5+\beta'\,^5+\gamma''\,^5=0 \) .  Pero ahora sólo  \( \lambda^{5k} \)  divide á  \( \gamma''\,^5 \) . 

(23) Luego estamos, por tanto, ante un descenso infinito si repetimos este razonamiento una y otra vez sobre las ecuaciones resultantes. Y si seguimos este mismo esquema de los casos expuestos del UTF3 y UTF5, se puede generalizar la demostración a todo UTFp, para un  \( p>5 \)  primo regular que divida a una de las potencias, en el sentido de la condición impuesta por Kummer: Que si  \( \mathfrak{a}^p \)  es un ideal principal, entonces  \( \mathfrak{a} \)  también lo sea (Carlos Ivorra (4)).   


Un saludo y Feliz entrada de año nuevo 2024


PD. Reescribo (9 de enero) simplificando y mejorando este intento de demostración aquí: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125610.msg512888#msg512888

[Luis Fuentes]

Hola

 Hasta el año que viene no voy a poder mirar con calma esto.  No obstante si no me equivoco en los 12 primeros puntos lo que pretendes es haber demostrado el UTF para \( n=3 \). ¿Es así? Es que me confunde el título del hilo, porque el pequeño Teorema de Fermat es otra cosa. ¡Si pretendes demostrar el Teorema de Fermat con lo que vas a exponer dilo claramente! 

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola Luis

Hola

 Hasta el año que viene no voy a poder mirar con calma esto.  No obstante si no me equivoco en los 12 primeros puntos lo que pretendes es haber demostrado el UTF para \( n=3 \). ¿Es así? Es que me confunde el título del hilo, porque el pequeño Teorema de Fermat es otra cosa. ¡Si pretendes demostrar el Teorema de Fermat con lo que vas a exponer dilo claramente! 

Saludos.

Gracias por contestar. No espero nada hasta el año que viene, claro. Al utilizar anillos especiales no puedo abarcar nunca todo el UTF, sólo el relativo a los primos regurales de Kummer que son los que me pueden permitir hacerlo. Del (1) al (12)  es el UTF3 y del (13) al (23) el UTF5. Pero lo más importante es el razonamiento común que utilizo en ambos casos que es generalizable. De todas formas, cuando pueda, ahora en estos días es difícil, quiero ir apuntalando este intento de demostración haciendo hincapié en este esqueleto común del UTF3 y 5 que digo que puede servir de aclaración. Era mi deseo publicar en 2023 como fuera como colofón a un año intenso para mí en estas cuestiones. Espero que no haya muchas erratas. A parte de eso, el 23 es uno de mis primos favoritos. Siento que termine este año jajaja. Tengo la sensación de ir con muchísimo atraso en todo y en especial en este tema desde hace años. Un saludo

[Fernando Moreno]

Hola. La idea que pretendo generalizar es la siguiente: 

Tenemos:  \( \alpha^p+\beta^p+\gamma^p=0 \) ,  para  \( p \)  un primo regular de Kummer. 

Luego: 

\( -\gamma^p=(\alpha+\beta)(\alpha+\beta\zeta)\,\cdot\cdot\,(\alpha+\beta\zeta^{p-2})(\alpha+\beta\zeta^{p-1}) \) .  Y sin perder generalidad, establecemos que  \( p \)  divide á  \( -\gamma^p \) ,  que será siempre  \( p^2 \) ,  por lo que  \( \lambda^{pk+p} \)  como mínimo  dividirá á  \( -\gamma^p \) ,  ya que  \( p=e_1\lambda^{p-1} \) ,  para  \( e_1 \)  una unidad del anillo y  \( \lambda \)  el primo  \( 1-\zeta \) .   

Y donde:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{e_2\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta\zeta)\,\cdot\cdot\,(\alpha+\beta\zeta^{p-2})(\alpha+\beta\zeta^{p-1})}{e_1\lambda^{p-1}} \) ,  para  \( e_{2} \)  otra unidad del anillo ,  serán p-ésimas potencias perfectas. Ya que  \( \lambda^{pk+1} \)  divide á  \( \alpha+\beta \)  -y-  \( \alpha+\beta \)  -y-:  \( (\alpha+\beta\zeta)\,\cdot\cdot\,(\alpha+\beta\zeta^{p-2})(\alpha+\beta\zeta^{p-1}) \)  son coprimos salvo por  \( p \) .    

Cada factor  \( (\alpha+\beta\zeta)\,\cdot\cdot\,(\alpha+\beta\zeta^{p-2}) \)  se puede probar que son coprimos salvo por  \( \lambda \)  -y- por tanto, divididos por  \( \lambda \) ,  serán potencias p-ésimas salvo unidades.   

Todas las unidades del anillo son de la forma:  \( \zeta^m\varepsilon_1^{n_1}\,\cdot\cdot\,\varepsilon_r^{n_r} \) ,  para  \( r=(p-3)/2 \) (Carlos Ivorra), para  \( m=0,1,2\,\cdot\cdot\,(p-1) \)  -y-  \( n \)  un entero.  Las unidades reales son  \( \varepsilon \)  -y- las imaginarias  \( \zeta^m \) .   

Si hago esta suma:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon_i\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^{p-1}}{\zeta^{p-1}\varepsilon_i\lambda} \) ;  en la que  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^{p-1}}{\zeta^{p-1}\varepsilon_i\lambda}=\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon_i\lambda} \) ; tendré que:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon_i\lambda}(1+\zeta) \) .        

Primero demuestro que  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon_i\lambda} \)  es una p-ésima potencia cuya unidad es de la forma  \( \pm 1 \) .  Luego  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon_i\lambda} \)  tendrá una unidad de la forma  \( \mp 1 \) .   Esta es la parte más delicada. No tengo una generalización esquemática por ahora, estoy en ello. 

Por otra parte  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon_i\lambda}(1+\zeta) \)  es también una potencia p-ésima salvo unidades. Ahora bien, la factorización establecida al principio me permite distribuir las unidades de tal manera que entre la  \( e_2 \) ,  unidad de  \( \alpha+\beta \) ,  la  \( \varepsilon_i \)  de los otros dos sumandos y la unidad que sea  \( 1+\zeta \) ,  dé lugar a que  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon_i\lambda}(1+\zeta) \)  sea una p-ésima potencia perfecta. 

Y ya lo tengo:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon_i\lambda}+\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon_i\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon_i\lambda}(1+\zeta) \) ,  serán una suma de 3 potencias p-ésimas donde ahora sólo  \( \lambda^{pk} \)  divide a una de ellas.    


Un saludo,

[RDC]

No puedo comentar mucho al respecto porque debería ponerme a mirar qué son estas cosas que indicas y no tengo tiempo. Pero espero que logres sacar a delante este trabajo Fernando.

Un saludo!

[Fernando Moreno]

Hola RDC. ¡Muchas gracias por tu apoyo moral! Quiero hacer luego una aportación a esto para simplificarlo, pero ando liado. Esta tarde o mañana.

Lo intento de todas las formas posibles con los enteros usuales. Pero nada oye, que tengo que tirar siempre de anillos especiales

Un saludo!

[Fernando Moreno]

Hola,

Quiero hacer luego una aportación a esto para simplificarlo, pero ando liado. Esta tarde o mañana.

Pues por ahora no voy a poder hacer ninguna aportación, tenía un error (gordo) no advertido. Saludos

[Fernando Moreno]

Hola, modifico en la demostración los puntos (2) y (14) por haber detectado un error. Saludos

(2) Conocemos (Keith Conrad) que:  \( (c_0+c_1\zeta+\cdot\cdot+c_{p-2}\zeta^{p-2})^p\equiv c_0+c_1+\cdot\cdot+c_{p-2} \) mod \( p \) ,  para  \( c_0,c_1,.. \)  enteros usuales. Luego podemos considerar módulo  \( 3 \)  á  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  como si fuera  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  donde  \( a,b,c \)  serían enteros usuales y les podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las terceras potencias es divisible por  \( 3 \) .  Supongamos que sea  \( \gamma^3 \) .   Aquí hay un error. De lo que escribe Keith Conrad, lo único que se deduce es que  \( \alpha^p+\beta^p+\gamma^p\equiv a+b+c \) mod \( p \) .  Luego no puedo aplicar ahí el Teorema de Sophie Germain. Primero tendría que demostrar el caso en que  \( p \) ,  en este caso  \( 3 \) ,  no divide a ninguna de las variables. Por ahora lo dejo así, sólo para el caso en que  \( 3 \)  sí divide a una de las variables.

(14) Conocemos (Keith Conrad) que módulo  \( 5 \) :  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) ,  es como si fuera  \( a^5+b^5+c^5=0 \) ,  donde  \( a,b,c \)  serían enteros usuales y les podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las quintas potencias es divisible por  \( 5 \) .  Supongamos que sea  \( \gamma^5 \) .  .  Lo único que dice Keith Conrad es que  \( \alpha^p\equiv a \) mod \( p \) .  Suponemos a partir de ahora que  \( 5 \)  divide a una de las variables y dejo para otro momento el caso en el que  \( 5 \)  no divide a ninguna.

[Fernando Moreno]

      
Primero demuestro que  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon_i\lambda} \)  es una p-ésima potencia cuya unidad es de la forma  \( \pm 1 \) .  Luego  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon_i\lambda} \)  tendrá una unidad de la forma  \( \mp 1 \) .   Esta es la parte más delicada. No tengo una generalización esquemática por ahora, estoy en ello. 

Hola, creo que hay una manera de simplificar este punto:

En  \( \mathbb{Z}(\zeta_p) \) ,   un elemento de este anillo es de la siguiente forma:  \( \alpha=a+b\zeta+c\zeta^2+\,\cdot\cdot\,+y\zeta^{p-2}+z\zeta^{p-1} \) .  Sean  \( \alpha,\beta \)  dos elementos de  \( \mathbb{Z}(\zeta_p) \) .  Entonces  \( \alpha-\beta \)  es igual a otro elemento de  \( \mathbb{Z}(\zeta_p) \) ,  pongamos:  \( \delta \) .  Aquí no interviene ninguna unidad. Hablamos estrictamente de  \( \delta \) ,  no de un asociado de  \( \delta \) .  Por ejemplo, si  \( \delta=2\zeta \) ,  no decimos que  \( \zeta \)  es una unidad de  \( \delta \) ; sino simplemente que  \( \delta \)  es igual á  \( 2\zeta \) .  Con esta premisa voy ya a un caso concreto, el UTF3: 

Sabemos por (7)  que  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha-\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  son dos cubos salvo unidades.  Como  \( \dfrac{\alpha-\beta\omega}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda} \) .  Si hago esta suma:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\omega}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta(1-\omega)}{\lambda}=\alpha-\beta \) .  Y tendré que  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha-\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\alpha-\beta \)  -y-  \( \epsilon_1\mu_1^3+\epsilon_2\mu_2^3=\alpha-\beta \) .   Pero como a la derecha de la igualdad no hay unidades,  \( \epsilon_1 \)  -y-  \( \epsilon_2 \)  deben estar integradas en los respectivos cubos y ser terceras potencias y por lo tanto de la forma  \( \pm 1 \) .   

En UTF5, por (19) conocemos que  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda} \)  son quintas potencias salvo unidades.  Como  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \) .  Si hago esta resta:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}-\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\epsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) .  Tendré que  \( e_1\mu_1^5+e_2\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \)  -y-  existen dos posibilidades, que:  \( e_1=e_2=\varepsilon^{-4} \) ó  que:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}=\varepsilon^{4}\mu_1^5 \)  -y-  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\lambda}=\varepsilon^4\mu_4^5 \) .  Y entonces:  \( \mu_1^5+\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) .  Por lo que  \( \varepsilon^4\mu_1^5+\varepsilon^4\mu_4^5=(\alpha-\beta) \) .  Y las unidades sean:  \( e_1=e_2=\varepsilon^4 \) .  Que es lo que casaría con el planteamiento de  (17).  (Lo tachado está mal, disculpas)

En definitiva, esto supone que las unidades de estos dos cubos serían más bien:  \( \varepsilon^{\pm 4} \) .  Lo que no altera el resultado final de la demostración, pero sí la modifica.

Esto supondría que (21) no es correcto y mirándolo ahora mejor, veo que efectivamente no es exacto, por lo que hago las siguientes modificaciones provisionales en la demostración:

(21) De esta manera:  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4\equiv e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\zeta\varepsilon^4(\pm 1,\pm 2)\right)\cdot e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\right) \) mod \( \lambda^3 \) .  Y como  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\equiv e_1 \) mod \( \lambda^3 \) ,  entonces:  \( e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\zeta\varepsilon^4(\pm 1,\pm 2)\right)\cdot e'\rho\zeta^{-1}\varepsilon^{4}(\pm 1,\pm 2)\cdot\left(-e'\rho\varepsilon^{-4}(\pm 1,\pm 2)\right)\equiv e_1\cdot(-\zeta\varepsilon^8e_1)\cdot\zeta^4\varepsilon^8e_1\cdot(-e_1)=e_1^4\varepsilon^{16} \) mod \( \lambda^3 \) .  Pero por (19):  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4=1 \)  -y-  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4\equiv 1 \) mod \( \lambda^3 \) .  En consecuencia:  \( e_1^4\varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^3 \)  -y-  \( e_1^4\varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .   Tenemos (Carlos Ivorra (2)) que  \( \varepsilon^4=-3\zeta^3-3\zeta^2+2=3\varepsilon+2=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+2=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{(\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4}}{2}+2 \) .  Donde  \( \dfrac{1}{2}\equiv 3 \) mod \( 5 \) ,  -y- entonces:  \( \varepsilon^4=\dfrac{3}{2}\cdot(1+(\zeta+\zeta^2)\lambda^2)+2\equiv 9\cdot(1+0)+2\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Luego si  \( \varepsilon^4\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \varepsilon^{16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Así:  \( e_1^4\equiv 1 \) mod \( (\lambda^2=(1-\zeta)^2=1+\zeta^2-2\zeta) \) ,  por lo que:  \( e_1\equiv\pm 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Y la única manera de que la unidad  \( e_1 \)  no sea de la forma  \( \pm 1 \)  es que:  \( e_1\equiv-\zeta^2+2\zeta=-\zeta(\zeta-2) \) mod \( 1+\zeta^2-2\zeta \)  -y-  \( e_1 \)  sea una unidad imaginaria.  Pero esto no puede ser, porque  \( \zeta-2 \)  no es una unidad imaginaria sino un número primo múltiplo de  \( 31 \)  (Carlos Ivorra (3)).

Por esta respuesta: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125610.msg512874#msg512874 ; me doy cuenta que lo de arriba no es exacto. Aunque sigo manteniendo que  \( e_1 \)  no puede ser una unidad imaginaria sí podría ser una unidad real distinta de  \( 1 \) . Si  \( e_1^4\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \)  -y-  \( e_1\equiv\pm 1 \) mod \( \lambda^2 \) ,  entonces pordría ser también de la forma  \( e_1=\varepsilon^{4} \) ,  puesto que  \( \varepsilon^{4,16}\equiv 1 \) mod \( \lambda^2 \) .  Sería incluso la opción más correcta. Me lo pienso y si acaso reescribo la demostración.

[Fernando Moreno]

Hola, reescribo toda la demostración: 

(1) Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) ,  la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí. 

(2) Sabemos por este Lema 3 de Carlos Ivorra, que si  \( \lambda\nmid\alpha' \) ,  para un  \( \alpha' \)  elemento de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  entonces  \( \alpha'\,^3\equiv\pm 1 \) mod \( 9 \) .  Si  \( 9 \)  no divide a ninguno de los términos de la ecuación de partida, entonces  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\not\equiv\pm 1\pm 1\pm 1\equiv 0 \) mod \( 9 \) .  Luego  \( 9 \)  debe dividir a uno de los cubos. Supongamos que sea  \( \gamma^3 \) . 

(3) Como en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  \( 3 \)  es igual á  \( -\omega^2\lambda^2 \)  -y- por tanto  \( 9=\omega\lambda^4 \) ,   siendo  \( \pm\omega^{1,2} \)  unidades de este anillo -y-  \( \lambda \)  el primo  \( 1-\omega \) .  Y tenemos que:  \( -\gamma^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \) ,  donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por  \( 3 \)  -y-  \( 3 \) ,  como mínimo, y por tanto  \( \lambda^{2} \) ,  deben dividir á  \( \alpha+\beta \) .  Será que  \( \lambda^{k+1} \) ,  para  \( k\in{N^+} \) ,  divide á  \( \gamma \) ,  -y- así:  \( e_1^3\cdot\lambda^{3k+3} \)  dividirá á  \( -\gamma^3 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{3k+1} \)  dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- sólo  \( 3=-\omega^2\cdot\lambda^2 \)  dividirá  á:  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \) ,  para  \( e_{1,2} \)  unidades del anillo.    

(4) Sabemos que todas estas unidades al cubo son de la forma  \( \pm 1 \) .  Por tanto tendremos, sin perder generalidad, que  \( -\gamma^3=-\lambda^{3k+3}\gamma'\,^3 \)  ,  \( \alpha+\beta=\omega\lambda^{3k+1}\delta^3 \)  -y-  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=-\omega^2\lambda^2\eta^3 \) ,  para unos  \( \delta,\eta \)  enteros de Eisenstein coprimos entre sí -y-  \( \omega\cdot (-\omega^2)=-1 \) .  De esta forma  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}=\omega\delta'\,^3 \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2}=-\omega^2\eta^3 \)  serán coprimos y terceras potencias (salvo unidades). 

(5) Luego:  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{-\omega^2\lambda^2}=\dfrac{(\alpha+\beta\omega)(\alpha+\beta\omega^2)}{-\omega^2\lambda^2} \) .  Donde  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda} \)  serán coprimos y terceras potencias también, salvo unidades.  Pues de la suma de:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\omega+\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{2\alpha-\beta}{\lambda} \) ,  ya que  \( \omega+\omega^2=-1 \) .  Y de su diferencia:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}=\dfrac{\beta(\omega-\omega^2)}{\lambda}=\dfrac{\beta\omega(1-\omega)}{\lambda}=\beta\omega \) .  Se desprende que no tienen ningún divisor en común, pues  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \)  son coprimos;  \( \beta \)  no es par, porque si no ambos factores:  \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{\lambda}\right) \) ,  serían coprimos salvo por  \( 2 \)  -y-  \( 4 \)  debería dividir á  \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta \)  que no puede ser par y por último:  \( \lambda \)  divide á  \( 2\alpha-\beta \)  porque divide á  \( \alpha+\beta \) .   

(6) Resalto que la unidad real, en este caso  \( \pm 1 \) ,  que tomo sin perder generalidad como  \( 1 \) ,  es la única que asocio al factor  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \) .  Esto mismo haré en el caso del UTF5, que expondré a continuación como prueba de un razonamiento general por inducción.   
 
(7) Ahora hay que demostrar que en  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3 \) ,  para un cubo  \( \mu_1^3 \)  de  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  la unidad  \( \epsilon_1 \)  es de la forma  \( \pm 1 \) .  Tenemos que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{3}=\eta^3 \)  es una tercera potencia perfecta. Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\epsilon_1\mu_1^3\epsilon_2\mu_2^3=\eta^3 \) ,  para  \( \mu_2^3 \)  un cubo de  de  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y-  \( \epsilon_1\cdot\epsilon_2=1 \)  -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos.

(8) Como  \( \dfrac{\alpha-\beta\omega}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda} \) .  Si hago esta suma:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\omega}{\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta(1-\omega)}{\lambda}=\alpha-\beta \) .  Tendré que:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}+\dfrac{\alpha-\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\alpha-\beta \)  -y-  \( \epsilon_1\mu_1^3+\epsilon_2\mu_2^3=\alpha-\beta \) .   Pero como a la derecha de la igualdad no hay unidades,  \( \epsilon_1 \)  -y-  \( \epsilon_2 \)  deben estar integradas en los respectivos cubos y ser terceras potencias y por lo tanto de la forma  \( \pm 1 \) .   

(9) Hacemos ahora esta resta:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\omega^2}{-\omega^2\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}-\dfrac{-\alpha\omega-\beta}{\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega) \) ,  porque  \( \dfrac{1}{-\omega^2}=-\omega \) .  Y nos encontramos con lo siguiente; por una parte:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda} \)  -y-  \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda} \)  son dos terceras potencias perfectas en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y- por otra:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega) \) .  Y si seguimos desarrollando:  \( \dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(1+\omega)=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{\lambda}(-\omega^2)=-\lambda^{3k}\delta^3 \) .  Es decir, otro cubo perfecto en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Por lo que tenemos que si:  \( \dfrac{\alpha+\beta\omega}{\lambda}=\alpha'\,^3 \)  ,  \( -\dfrac{\alpha\omega+\beta}{\lambda}=-\beta'\,^3 \)  -y-  \( -\lambda^{3k}\delta^3=-\gamma''\,^3 \) ;  será que:  \( \alpha'\,^3+\beta'\,^3+\gamma''\,^3=0 \) .  Pero ahora sólo  \( \lambda^{3k} \)  divide á  \( \gamma''\,^3 \) . 

(10) Si aplicamos todo este razonamiento a esta última ecuación y lo repetimos una y otra vez, nos llevará a un descenso infinito de potencias de  \( \lambda \) ,  que será múltiplo siempre de uno de los cubos de una suma de tres igual a cero en  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  -y- donde a su vez el valor de  \( k \)  tenderá a hacerse indeterminadamente grande.

(11) Supongamos ahora en el anillo  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) ,  para  \( \zeta_5 \)  la raíz primitiva quinta de la unidad; la siguiente ecuación:  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) ,  donde  \( \alpha,\beta,\gamma \)  son coprimos entre sí.

(12) Conocemos (Keith Conrad) que módulo  \( 5 \) :  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5=0 \) ,  es como si fuera  \( a+b+c=0 \) ,  donde  \( a,b,c \)  serían enteros usuales. Pero si  \( 5 \)  no divide a ninguna de las quintas potencias, entonces como: 

\( -\alpha^5=\beta^5+\gamma^5=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^4-5\beta\gamma((\beta+\gamma)^2-\beta\gamma) \) 

\( -\beta^5=\alpha^5+\gamma^5=(\alpha+\gamma)((\alpha+\gamma)^4-5\alpha\gamma((\alpha+\gamma)^2-\alpha\gamma) \) 

\( -\gamma^5=\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) 

Y :  \( \beta+\gamma \)  ,   \( \alpha+\gamma \)  -y-  \( \alpha+\beta \)  serán quintas potencias  (\( e\mu'\,^5 \)) ,  para  \( e \)  una unidad; serán congruentes en parte con un entero usual módulo  \( 5 \) ,  pongamos que respectivamente:  \( a\cdot e_1 \)  ,  \( b\cdot e_2 \)  -y-  \( c\cdot e_3 \) .   

Pero entonces:  \( -\alpha^5=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^4-5\beta\gamma((\beta+\gamma)^2-\beta\gamma)\equiv(\beta+\gamma)^5\equiv (a\cdot e_1)^5 \) mod \( 5 \)  -y-  \( -\alpha^5\equiv a^5e_1^5 \) mod \( 5 \) ,  para una unidad real, de haberla  (\( e_1 \))  -pero sólo puede ser imaginaria  (\( \zeta^{r5}=1 \))  porque su producto con la posible unidad del otro factor debe ser igual á  \( 1 \) ;  \( -\beta^5\equiv(\alpha+\gamma)^5 \) mod \( 5 \)  -y-  \( -\beta^5\equiv b^5 \) mod \( 5 \)  -y-  \( -\gamma^5\equiv(\alpha+\beta)^5 \) mod \( 5 \)  -y-  \( -\gamma^5\equiv c^5 \) mod \( 5 \) .  Por lo que tendremos en realidad que  \( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5\equiv a^5+b^5+c^5\equiv 0 \) mod \( 5 \) .  Donde podemos aplicar el Teorema de Sophie Germain que dice que en este caso al menos una de las quintas potencias sí es divisible por  \( 5 \)  contraviniendo el punto de partida. Supongamos que sea  \( \gamma^5 \) .
   
(13) Como en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) ,  \( 5 \)  es igual á  \( (\zeta+\zeta^2)^2\lambda^4 \) ,  siendo  \( (\zeta+\zeta^2)^2 \)  una unidad de este anillo -y-  \( \lambda \)  el primo  \( 1-\zeta \) .  Y además:  \( -\gamma^5=\alpha^5+\beta^5=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) .  Donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por  \( 5 \) .  Entonces  \( 5 \) ,  como mínimo, y por tanto  \( \lambda^{4} \) ,  deben dividir á  \( \alpha+\beta \) .  Por lo que en definitiva  \( 25 \) ,  como mínimo, -y-  \( \lambda^{8} \)  divide en realidad á  \( -\gamma^5 \) .  Lo que significa que por lo menos  \( \lambda^{k+1} \) ,  para  \( k\in{N^+} \) ,  divide á  \( \gamma \) ,  -y- así:  \( e_1^5\cdot\lambda^{5k+5} \)  dividirá á  \( -\gamma^5 \) ; \( e_2\cdot\lambda^{5k+1} \)  dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- sólo  \( 5=(\zeta+\zeta^2)^2\cdot\lambda^4 \)  dividirá  á:  \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \) ,  para  \( e_{1,2} \)  unidades del anillo.   

(14) Sabemos (Carlos Ivorra) que todas las unidades  \( (e) \)  de este anillo son de la forma  \( e=\pm\zeta^m\varepsilon^n \) ,  para  \( \varepsilon=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=-\zeta^3-\zeta^2 \)  (la unidad real);  \( m=0,1,2,3,4 \)  -y-  \( n \)  un entero. Luego  \( e_1^5 \)  será igual á  \( \varepsilon^{5q} \) ,  para un  \( q\in\mathbb{N^+} \) ,  -y-  \( e_2=\zeta^2\varepsilon^{5q-2} \) ;  ya que la unidad  \( (\zeta+\zeta^2)^2 \)  es de esta forma:  \( \zeta^3\varepsilon^2 \)  -y- debe darse que:  \( \varepsilon^{5q}=\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\cdot\zeta^3\varepsilon^2 \) .   

(15) Tendremos pues que  \( \dfrac{\alpha+\beta}{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4=5} \)  serán coprimos y quintas potencias perfectas.   

Y como  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4}=\dfrac{(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \) .   


Si:  \( -\epsilon^{5q}\lambda^{5k+5}\gamma'\,^5=(\alpha+\beta)(\alpha+\beta\zeta)(\alpha+\beta\zeta^2)(\alpha+\beta\zeta^3)(\alpha+\beta\zeta^4) \) ;  entonces:   


 \( -\lambda^{5k}\gamma'\,^5=\left(\dfrac{\alpha+\beta}{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\right) \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}\right) \) .    


Pues en los cuatro últimos factores tendremos que  \( \varepsilon^4\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^{-3}\cdot\varepsilon^4=\varepsilon^2 \)  -y-  \( \zeta^2\cdot\zeta^2\cdot\zeta^4=\zeta^3 \) .   
 
(16) Ahora hay que demostrar que:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \)  ,   \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda} \)  son quintas potencias salvo unidades.  No es difícil deducir que los factores  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda} \)  ,  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda} \)  son coprimos. Veámoslo. Por una parte, de la suma de estos términos dos a dos:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)}{\lambda} \) ,  para unos  \( r,s \)  definidos entre  \( 1 \)  -y-  \( 4 \)  (incluidos) -y-  \( r<s \) ,  donde  \( \zeta^r+\zeta^s \)  es una unidad. Por otra parte, de su diferencia:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^r}{\lambda}-\dfrac{\alpha+\beta\zeta^s}{\lambda}=\dfrac{\beta(\zeta^r-\zeta^s)}{\lambda} \) ;  donde siempre se dará:  \( \dfrac{\beta\cdot e\cdot(1-\zeta)}{\lambda}=e\beta \) ,  para  \( e \)  una unidad del anillo. Luego se desprende que entre los respectivos ambos términos (de las sumas y las restas) no hay ningún factor en común.  Pues primero hay que tener en cuenta que en las sumas, el numerador:  \( 2\alpha+\beta(\zeta^r+\zeta^s)\equiv 2(\alpha+\beta) \) , al ser  \( \zeta\equiv 1 \) mod \( \lambda \)  -y-  \( \lambda \) ,  del denominador, dividirá á  \( \alpha+\beta \)  -y- segundo, que  \( \beta \)  no es par, porque si no los factores  \( \left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\lambda}\right)\cdot\left(\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\lambda}\right) \)  serían coprimos salvo por  \( 2 \)  -y-  \( 16 \)  dividiría á  \( (\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta) \)  que no puede ser par.   

(17) Como  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5 \) ,  para una quinta potencia  \( \mu_1^5 \)  de  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) , tenemos que averiguar de qué forma es la unidad  \( e_1 \) .  Vimos que  \( \dfrac{(\alpha+\beta)^4-5\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}{\zeta^3\varepsilon^2\lambda^4} \)  es una quinta potencia perfecta  (\( \eta^5 \)) .  Luego:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^2}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^3}{\zeta^2\varepsilon^{-3}\lambda}\cdot\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=e_1\mu_1^5\cdot e_2\mu_2^5\cdot e_3\mu_3^5\cdot e_4\mu_4^5=\eta^5 \) ,  para  \( e_1\cdot e_2\cdot e_3\cdot e_4=1 \)  -tomando sin perder generalidad sólo los valores positivos.

(18) Al ser  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \) .  Si hago esta resta:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}-\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha-\beta+(\beta-\alpha)\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\epsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) .  Tendré que  \( e_1\mu_1^5+e_2\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \)  -y- por lo tanto:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\lambda}=\varepsilon^{4}\mu_1^5 \)  -y-  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\lambda}=\varepsilon^4\mu_4^5 \) .  Y entonces:  \( \mu_1^5+\mu_4^5=\varepsilon^{-4}(\alpha-\beta) \) .  Por lo que  \( \varepsilon^4\mu_1^5+\varepsilon^4\mu_4^5=(\alpha-\beta) \) .  Y las unidades serán:  \( e_1=e_2=\varepsilon^4 \) .

(19) Si hacemos a continuación esta suma:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha+\beta\zeta^4}{\zeta^4\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}+\dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) .  Nos encontraremos entonces con lo siguiente; por un lado:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda} \)  -y-  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda} \)  serán dos quintas potencias perfectas en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \)  -y- por otro:  \( \dfrac{\alpha+\beta}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta)=\dfrac{\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(1+\zeta) \) ,  para un  \( \delta^5 \)  divisor de  \( \gamma'\,^5 \) .  Y como además  \( 1+\zeta=-\varepsilon\zeta^3 \) .  Si seguimos desarrollando:  \( \dfrac{-\zeta^2\varepsilon^{5q-2}\lambda^{5k+1}\delta^5}{\varepsilon^4\lambda}(\varepsilon\zeta^3)=-\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5 \) .  Es decir, otra quinta potencia perfecta en  \( \mathbb{Z}(\zeta_5) \) .  Por lo que tenemos que si:  \( \dfrac{\alpha+\beta\zeta}{\varepsilon^4\lambda}=\alpha'\,^5 \)  ,  \( \dfrac{\alpha\zeta+\beta}{\varepsilon^4\lambda}=\beta'\,^5 \)  -y-  \( -\varepsilon^{5q-5}\lambda^{5k}\delta^5=-\gamma''\,^5 \) ;  será que:  \( \alpha'\,^5+\beta'\,^5+\gamma''\,^5=0 \) .  Pero ahora sólo  \( \lambda^{5k} \)  divide á  \( \gamma''\,^5 \) . 

(20) Luego estamos, por tanto, ante un descenso infinito si repetimos este razonamiento una y otra vez sobre las ecuaciones resultantes. Y si seguimos este mismo esquema de los casos expuestos del UTF3 y UTF5, se puede generalizar la demostración a todo UTFp, para un  \( p>5 \)  primo regular que divida a una de las potencias, en el sentido de la condición impuesta por Kummer: Que si  \( \mathfrak{a}^p \)  es un ideal principal, entonces  \( \mathfrak{a} \)  también lo sea (Carlos Ivorra (2)).   


Un saludo,


PD. La he escrito deprisa. Seguramente le haré retoques otros días si no me la falsan antes, pero está lo esencial