[RDC]

Fermat comentó que sólo los números primos mayores que 2, $$p>2$$, del tipo $$1+4k$$ podían escribirse como suma de cuadrados y por tanto eran solución a la ecuación $$p=a^2+b^2$$

He visto que las demostraciones al respecto (la primera de fue de Euler) son algo complejas, y quizás tenga una de fácil. A ver qué os parece:

Empezamos con que $$x=a^2+b^2$$, pudiendo ser $$x$$ un número impar cualquiera, acaso un primo mayor que 2.

Dado que $$x$$ es impar, entonces suponemos que $$a$$ es par, con lo cual $$b$$ será impar; no hay otra.

Dado que $$a$$ es par, entonces:

$$a^2=4n^2$$, donde $$n\in{\Bbb N}, n\geq{1}$$

Dado que $$b$$ es impar, entonces:

$$b^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4[m(m+1)]+1$$, donde $$m\in{\Bbb N}, m\geq{0}$$

Con lo cual, tenemos pues:

$$x=a^2+b^2=(4n^2)+(4[m(m+1)]+1)=4[n^2+m^2+m]+1$$

Así pues, se demostraría que sólo los números impares $$x$$ que son del tipo $$4k+1$$, (con $$ k= n^2+m^2+m $$), cumplen que son suma de cuadrados. Por lo tanto, sólo los primos, $$p$$, del tipo $$4k+1$$ son una suma de cuadrados.

[Luis Fuentes]

Hola

Fermat comentó que sólo los números primos mayores que 2, $$p>2$$, del tipo $$1+4k$$ podían escribirse como suma de cuadrados y por tanto eran solución a la ecuación $$p=a^2+b^2$$

He visto que las demostraciones al respecto (la primera de fue de Euler) son algo complejas, y quizás tenga una de fácil. A ver qué os parece:

Empezamos con que $$x=a^2+b^2$$, pudiendo ser $$x$$ un número impar cualquiera, acaso un primo mayor que 2.

Dado que $$x$$ es impar, entonces suponemos que $$a$$ es par, con lo cual $$b$$ será impar; no hay otra.

Dado que $$a$$ es par, entonces:

$$a^2=4n^2$$, donde $$n\in{\Bbb N}, n\geq{1}$$

Dado que $$b$$ es impar, entonces:

$$b^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4[m(m+1)]+1$$, donde $$m\in{\Bbb N}, m\geq{0}$$

Con lo cual, tenemos pues:

$$x=a^2+b^2=(4n^2)+(4[m(m+1)]+1)=4[n^2+m^2+m]+1$$

Así pues, se demostraría que sólo los números impares $$x$$ que son del tipo $$4k+1$$, (con $$ k= n^2+m^2+m $$), cumplen que son suma de cuadrados. Por lo tanto, sólo los primos, $$p$$, del tipo $$4k+1$$ son una suma de cuadrados.

Pero es que ahí lo que pruebas es sólo la implicación de que si un primo impar se escribe como suma de cuadrados necesariamente es de la forma \( 4k+1 \). Eso es inmediato como has hecho o simplemente trabajando módulo \( 4 \).

Lo interesante es el recíproco: probar que todo primo \( p=4k+1 \) puede escribirse como suma de cuadrados.

Saludos.

[RDC]

Sí, es verdad Luís. Estaba despistado

Un saludo!

[mongar]

 He leído tu exposición, para la prueba del recíproco, te doy una sugerencia, no se si correcta o no, para un caso concreto que pienso se puede ampliar:  \( a^2 + (a + 1)^2 \), si haces \( 2(a^2 + a) = 4k \). Saludos

[RDC]

Hola, buenas tardes. Después del despiste con el que abrí este hilo le he dado vueltas y presento una posible demostración ya no tan fácil. Al menos sería una observación. A ver qué os parece:

Tenemos $$a,b,j\in{\Bbb N}, a,b>0, j\geq{0}$$, del siguiente modo:

\( a^2+(a+2j+1)^2=a^2+b^2=n, n\in{\Bbb N} \)

Ello implica que si $$a$$ es par $$b$$ es impar, o viceversa.

por tanto, suponiendo que $$a$$ es par, entonces tenemos lo que expuse el otro día:

\( n=a^2+b^2=4(q^2)+4(m^2+m)+1=4[q^2+m^2+m]+1=4k+1 \)

Esto nos indica que en tal caso $$n$$ siempre será un número del tipo $$4k+1$$, aunque ello no nos garantiza que todos los primos de esta forma puedan escribirse como una suma de 2 cuadrados. [1]

Lo que hacemos ahora es demostrar que:

Dado \( n=a^2+b^2=4k+1, r=4h+1=c^2+d^2 \), entonces \( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=4j+1=f^2+g^2 \)

Demostración:

\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2 \) Y lo reagrupamos así, para manipularlo:

\( (ac)^2+(bd)^2+(bc)^2+(ad)^2= [(ac)^2+(bd)^2+2(ac·bd)]+[(bc)^2+(ad)^2-2(bc·ad)] \). Esto queda igual dado que los términos introducidos en realidad se eliminan: \( 2(ac·bd)-2(bc·ad)=0 \). Pero ello nos permite reescribir la suma de 4 cuadrados como la suma de 2 binomios al cuadrado:

\( [(ac)^2+(bd)^2+2(ac·bd)]+[(bc)^2+(ad)^2-2(bc·ad)]=[ac+bd]^2+[bc-ad]^2= \)\( =x^2+y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n·r=(4k+1)(4h+1)=4j+1 \)

Ejemplo:

$$5.945=29·205=(4·7+1)(4·51+1)=(2^2+5^2)(6^2+13^2)=12^2+30^2+26^2+65^2=$$$$=[12+65]^2+[30-26]^2=77^2+4^2=5.945=4·(1.486)+1$$

OBSERVACIONES:

Spoiler

1) SIEMPRE que se da el producto \( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2 \) en realidad tendremos 2 soluciones, dado que al introducir los términos \( \pm{2(abcd)} \) estos se pueden colocar con una pareja de cuadrados o bien la otra. Por tanto, en el ejemplo dado, tenemos dos resultados:

a) $$5.945=29·205=(4·7+1)(4·51+1)=(2^2+5^2)(6^2+13^2)=12^2+30^2+26^2+65^2=$$$$=[12+65]^2+[30-26]^2=77^2+4^2=5.945=4·(1.486)+1$$

b) $$5.945=29·205=(4·7+1)(4·51+1)=(2^2+5^2)(6^2+13^2)=12^2+30^2+26^2+65^2=$$$$=[65-12]^2+[30+26]^2=53^2+56^2=5.945=4·(1.486)+1$$

En resumen, el producto $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=77^2+4^2=53^2+56^2$$

Spoiler

Hay dos casos particulares a comentar:

CASO 1:

\( (a^2+b^2)(a^2+b^2)=(a^2+b^2)^2 \)

Este caso se caracteriza porque una de las 2 soluciones siempre será un número cuadrado, mientras que la otra será la suma de dos cuadrados.

Por ejemplo:

\( 5=4·1+1=1+2^2\longrightarrow{(1+2^2)^2=(1+2^2)(1+2^2)=1+2^2+2^2+4^2} \)

Soluciones:
a) $$[1+4]^2+[2-2]^2=5^2$$

b) $$[4-1]^2+[2+2]^2=3^2+4^2$$

CASO 2:

\( (a^2+a^2)^2=2(a^4+a^4)=4a^4
 \)
Ejemplo:

\( (5^2+5^2)^2=(5^2+5^2)(5^2+5^2)=25^2+25^2+25^2+25^2=[5^2+5^2]^2+[5^2-5^2]^2=[5^2+5^2]^2=2(5^4+5^4)=4·5^4 \)

[cerrar]

2)En el punto [|] del principio hemos visto que si tenemos que $$a,b$$ tienen diferente paridad, al igual que $$c,d$$, ello nos garantiza que $$n=a^2+b^2, r=c^2+d^2$$ serán SIEMPRE números del tipo $$4k+1$$. Y resulta imposible que un número natural del tipo 4k+3=n^2+m^2, independientemente de la paridad de $$n,m$$.

Spoiler

a) Si, $$x=n^2+m^2=4(q^2+g^2)$$, siendo $$n,m$$ pares, entonces $$x\neq 4k+3$$ al ser par

b)Si,  $$x=n^2+m^2=4(q^2+q)+1+4(g^2+g)+1=4(q^2+q+g^2+g)+2$$, siendo $$n,m$$ impares, entonces $$x\neq 4k+3$$ al ser par.

[cerrar]

3) Esta demostración es general, en el sentido que en realidad no importa si los valores $$a,b,c,d$$ son pares o impares. Ahora bien, si nos centramos en el caso de que $$a^2+b^2=4k+1$$, entonces es evidente que en todo momento se mantiene tal disparidad y por tanto \( (4k+1)(4h+1)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4j+1=f^2+g^2 \):

Spoiler

Siendo $$a,c$$ pares, mientras que $$b,d$$ son impares, entonces, como hemos visto:
 
\( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2= \)
\( =[(ac)^2+(bd)^2+2(ac·bd)]+[(bc)^2+(ad)^2-2(bc·ad)]=[ac+bd]^2+[bc-ad]^2=n·r \)

$$ac$$ es par y $$bd$$ es impar, con lo cual $$[ac+bd]^2$$ es impar.

$$bc$$ es par y $$ad$$ es par, con lo cual $$[bc+ad]^2$$ es par.

De modo que: \( [ac+bd]^2+[bc-ad]^2=n·r=4k+1 \)

[cerrar]

Por tanto, más allá de la paridad de $$a,b,c,d$$ tenemos que de forma general el producto \( (a^2+b^2)(c^2+d^2)=f^2+g^2=n \). Si $$a,c$$ son pares y $$b,d$ impares, o viceversa, entonces $$n=4k+1$$. En todos los demás casos $$n$$ será un número par.

Ejemplo:

\( (2^2+4^2)(2^2+8^2)=1.360=4^2+8^2+16^2+32^2=36^2+8^2=1.360 \)

[cerrar]

En definitiva, pues, dado un \( n=4k+1=a^2+b^2 \) entonces podemos obtener un \( n·r=4j+1=f^2+g^2=l^2+i^2 \) al multiplicarlo con un \( r=4h+1=c^2+d^2  \). Y vemos como este número, $$r·s$$, siempre tendrá 2 soluciones posibles.

EJEMPLO:

Spoiler

Dado que podemos encadenar indefinidamente una serie de productos de suma de cuadrados:

\( u=(a^2+b^2)(c^2+d^2)(f^2+g^2)(x^2+y^2)....(w^2+v^2)=n·r·s·t...·h \)

Entonces se aprecia la siguiente curiosidad:

el número de maneras que un número, $$u$$, puede expresarse como suma de 2 cuadrados es igual a $$2^{n-1}$$, siendo $$n$$ el número de factores que tiene.

Por ejemplo:

$$u=(1+2^2)(2^2+3^3)(1+4^2)=5·13·17=1.105$$ tendrá $$2^{3-1}$$ formas de expresarse como suma de 2 cuadrados, pues:

\( 5·13=65=(1+2^2)(2^2+3^3)=2^2+4^2+3^2+6^2= \)

a) $$8^2+1^2=65$$

b) $$4^2+7^2=65$$

Entonces:

\( (1+8^2)(1+4^2)=1+8^2+4^2+32^2 \) Que nos dará 2 soluciones

\( (4^2+7^2)(1+4^2)=4^2+7^2+16^2+28^2 \) Que nos dará 2 soluciones más

De modo que para $$1.105=5·13·17$$ tenemos 4 soluciones como suma de 2 cuadrados:

1) $$33^2+4^2$$
2) $$31^2+12^2$$
3) $$32^2+9^2$$
4) $$24^2+23^2$$

[cerrar]

Por tanto, dado dos números $$n,r$$ que se expresan como suma de 2 cuadrados se justifica la existencia de toda una lista infinita de números que son múltiplos de ellos que también se expresarán como una suma de 2 cuadrados.

Ahora bien, ¿cómo se justifica que concretamente el $$n,r$$ se puedan expresar como una suma de 2 cuadrados?.

Generemos una lista con todos los números de la forma \( 4k+1 \). ¿cuáles se expresan como suma de 2 cuadrados? Nota, una x significa que no se expresa como suma de 2 cuadrados:

\( 1=4·0+1=x \)
\( 5=4·1+1=1+2^2 \)
\( 9=4·2+1=3·3=3^2=x \)
\( 13=4·3+1=2^2+3^2 \)
\( 17=4·4+1=1+4^2 \)
\( 21=4·5+1=3·7=x \)
\( 25=4·6+1=3^2+4^2 \)
\( 29=4·7+1=2^2+5^2 \)
\( 33=4·8+1=3·11=x \)
\( 37=4·9+1=1+6^2 \)
\( 41=4·10+1=4^2+5^2 \)
\( 45=4·11+1=9·5=3^2(1+2^2)=3^2+6^2 \) cualquier suma de cuadrados multiplicada por un cuadrado dará otra suma de cuadrados.
\( 49=4·12+1=7·7=7^2=x \)
\( 53=4·13+1=2^2+7^2 \)
\( 57=4·14+1=3·19=x \)
\( 61=4·15+1=5^2+6^2 \)
\( 65=4·16+1=5·13=1+8^2=4^2+7^2 \)
\( 69=4·17+1=3·23=x \)
\( 73=4·18+1=3^2+8^2 \)
\( 77=4·19+1=7·11=x \)
\( 81=4·20+1=9^2=x \)
\( 85=4·21+1=5·17=2^2+9^2=6^2+7^2 \)
...

Descartamos el 1 por ser el elemento neutro de la multiplicación y no poderse sumar con ningún otro de menor.

Vamos a destacar los números que NO se expresan como suma de 2 cuadrados:

El primer número que no se expresa como suma de cuadrados es el \( 9 \). ¿Por qué?

\( 9=3^2=(4k+3)(4k+3) \).

Por un lado tenemos que $$9=3^2$$, y el $$3$$  nunca podrá expresarse como la suma de 2 cuadrados al ser de la forma $$4k+3$$(tal y como se aprecia en las observaciones del spoiler anterior). Por tanto, al ser el $$9$$ el producto de un número (el $$3$$) que no se expresa como suma de 2 cuadrados, él tampoco se puede expresar como tal.

De aquí se deduce que los únicos impares que no se pueden expresar como la suma de 2 cuadrados son aquellos que tienen por factores a primos del tipo $$4k+3$$.

Excepción:

Ahora bien, sólo en el caso de que a un número del tipo $$4k+1$$, acaso el $$5$$ por ejemplo, y que se expresa como una suma de 2 cuadrados,  se le multiplica un primo al cuadrado del tipo $$4k+3$$, como ocurre con el $$45=5·3^2=(1+2^2)3^2$$, entonces obviamente sí pude expresarse como la suma de 2 cuadrados.

CONCLUSIÓN

En conclusión, se aprecia, pues, que todo número de la forma $$4k+1$$ debe poderse expresar como una suma de 2 cuadrados siempre y cuando no tenga por factores a primos del tipo $$4k+3$$ elevados a exponentes impares.

Todos los demás número del tipo $$4k+1$$ SIEMPRE se expresarán como suma de 2 cuadrados. Por tanto, todo primo del tipo 4k+1 se expresará como suma de 2 cuadrados; y en concreto sólo tendrá una forma única de expresarse como suma de 2 cuadrados.

Por ejemplo, el $$21=3·7$$ no se puede expresar como suma de 2 cuadrados, dado que el $$3$$ y el $$7$$ son primos de la forma $$4k+3$$. Y por tanto el $$5·21=205$$ tampoco puede expresarse como la suma de 2 cuadrados, aunque el 5 pueda por ser un primo del tipo $$4k+1$$.

 Representación grafica de los números de $$4k+1$$ que se expresan como suma de 2 cuadrados:

[Luis Fuentes]

Hola

 Grosso modo estoy de acuerdo con toda tu exposición. Pero simplemente no es una demostración completa de que todo número en la forma  que indicas se puede expresar como suma de cuadrados.

 A vuelapluma, te falta justificar que todo primo de la forma \( 4k+1 \) se puede escribir como suma de cuadrados.

Saludos.

[RDC]

Hola

 Grosso modo estoy de acuerdo con toda tu exposición. Pero simplemente no es una demostración completa de que todo número en la forma  que indicas se puede expresar como suma de cuadrados.

 A vuelapluma, te falta justificar que todo primo de la forma \( 4k+1 \) se puede escribir como suma de cuadrados.

Saludos.

Sí, parece que falta eso Luís.

hace días que quería postear alguna curiosidad más sobre esto pero no tengo tiempo... cuando pueda

un saludo

[RDC]

Como va todo?

Después de un tiempo haciendo otras cosas, me gustaría dejar algunas observaciones sobre este tema que me parecen curiosas -aunque igual ya se sabía. Lo ignoro.

Para empezar decir que aunque he intentado buscar una demostración de que todo primo de la forma 4k+1 se puede expresar como suma de cuadrados dispares, no he hallado nada más que algunas observaciones, que comentaré por si alguien ve algo más.

La primera curiosidad que quería comentar es que al hacer una tabla con todas las sumas de cuadrados dispares obtenemos lo siguiente:





Luego, si apreciamos la última cifra de cada celda y le damos un color, obtenemos esta imagen:





De ella observamos varios patrones:

1) Alrededor de las 4 celdas grises (número 7), que siempre van juntas creando un cuadrado, siempre se distribuyen celdas del mismo color.

2) Las celdas marrones (nº 5) siempre van en pareja. Las celdas azul marino (nº9) siempre va en pareja con celdas azul celeste(nº1). las celdas verdes (nº3) siempre va en pareja con celdas grises (nº7). Si sumamos las dos celdas nos da 10 siempre.


Como estas tablas las he creado con Chatgpt en un momento, el bot ha aprovechado para comentar lo siguiente sobre estos patrones:






Mostrado ya esto, otra cosa a nivel algebraico.

tenemos que:

\( 4k+1=a^2+b^2 \), siendo \( a,b \) dos naturales dispares.

Y como ya se demostró el otro día, si multiplicamos un número que se puede expresar como la suma de dos cuadrados, con otro número que también se puede expresar como la suma de dos cuadrados, entonces obtenemos un número que también se puede expresar como la suma de 2 cuadrados. Así pues:

Dado que, \( 2=1+1 \), entonces:

\( 2[4k+1]=x^2+y^2 \), siendo \( x,y \) dos naturales impares.

Spoiler

\( x,y \) son dos naturale simpares porque:

\( 2[4k+1]=(1+1)(a^2+b^2)=a^2+a^2+b^2+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2=x^2+y^2 \), donde:

\( a+b=x \)
\( a-b=y \)

Y dado que \( a,b \) son dispares entonces queda claro que \( x,y \) son siempre impares.

[cerrar]

Siendo \( x,y \) impares esto significa que:

\( x^2=4(m^2+m)+1 \)

\( y^2=4(n^2+n)+1 \)

De modo que:

\( 2(4k+1)=x^2+y^2=[4(m^2+m)+1]+[4(n^2+n)+1] \)

Con lo cual:

\( 4(m^2+m+n^2+n)+2=2(4k+1) \). Y simplificamos:

\( 2(m^2+m+n^2+n)+1=4k+1 \)

Y dado que sabemos que \( \displaystyle\frac{m^2+m}{2}=x_m \), siendo \( x_m \) un nº triangular, entonces:

\( 4(x_m+x_n)+1=4k+1 \)

De modo que:

si \( k=x_m+x_n \), entonces \( s=4k+1=a^2+b^2 \). Nota: puede darse que \( x_m=0 \)

Tenemos, pues, la serie de nº triangulares:



Así pues, todo \( s=4k+1 \), tal que \( k=x_m \) se puede expresar como suma de cuadrados. Así como todo \( s \) tal que \( k=x_m+1, k=x_m+3, k=x_m+6, k=x_m+10,..., k=x_m+x_n \)

En definitiva, si se puede demostrar que todo número primo, \( p=4k+1 \), su \( k=x_m+x_n \), entonces quedaría demostrado.

Otra observación

Como ya se demostró, dado \( s=4k+1=a^2+b^2  \)y un primo, \( p=4g+1 \), entonces \( sp=4j+1 \). Y \( sp=x^2+y^2 \), siempre que \( p=c^2+d^2 \).

Entonces, sabemos que:

\( r=4n^2+1 \) es siempre una suma de cuadrados. La cuestion es:

\( r=sp=p(a^2+b^2) \)

Esto implica que dado un \( p=4k+1 \), entonces siempre existe un \( n \) tal que:

\( (2n)^2+1\equiv{0} Mod(p) \), pero que no es equivalente a \( Mod(p^{2i}) \)

Bueno, aquí también me he quedado.

Un saludo

[RDC]

Bueno, sólo quería apuntar una simple observación al respecto:

Si, \( n=4k+1=a^2+b^2 \), entonces:

1) \( n+2ab=(a+b)^2=x^2 \)

2) \( n-2ab=(a-b)^2=y^2 \)

Y dado que \( a,b \) no son nunca copares, entonces \( x,y \) son siempre impares.

Ello implica que:

El valor medio entre dos números cuadrados impares siempre es un natural $$n$$:

\( n=4k+1=a^2+b^2 \)

Así, por ejemplo, observamos que:

a) Entre 1 y 9 tenemos \( \displaystyle\frac{9-1}{2}+1= 4+1=5=1+2^2 \)

b) Entre 9 y 49 tenemos \( \displaystyle\frac{49-9}{2}+9=20+9=29=5^2+2^2 \)

etc...

Y de aquí podemos generar ternas pitagóricas sabiendo que:

\( a^2+b^2=c^2 \), donde:

$$a^2=x^2·y^2$$

$$b^2=(\displaystyle\frac{x^2-y^2}{2})^2=(2ab)^2$$

$$c^2=(\displaystyle\frac{x^2+y^2}{2})^2=n^2$$

Spoiler

Cabe indicar que:

$$x^2+y^2=2·n=n+2ab+n-2ab$$

[cerrar]

Con lo cual:

$$(xy)^2+(2ab)^2=n^2$$

que a fin de cuentas es lo mismo que:

$$[n^2-(2ab)^2]+(2ab)^2=n^2$$

por tanto, basta con saber $$n=a^2+b^2$$ para generar sin problemas una terna pitagórica en base a $$n^2$$.

Saludos.

[RDC]

Otra curiosidad muy simple y tonta. Se basa en la relación directa que tienen los números de la forma 4k+1 con los números triangulares.

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n{4k+1}=2k^2+3k+1 \), dando \( 2k^2+3k+1 \) todos los números triangulares de los valores impares.


\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{4k-1}=k(2k+1) \), dando \( k(2k+1) \) todos los números triangulares de los valores pares.