Principal * N Z Q R C + Con esa teoría resulta que cada uno de los matemáticos del mundo podría estar trabajando con conceptos distintos de números, y aunque todos ellos deberán satisfacer los axiomas correspondientes no necesariamente deben coincidir unos con otros. Curioso punto de vista.
Justamente,
ese es un problema no menor, y por eso me estoy tomando el trabajo de dejar, para cada sistema,
la demostración de un Teorema concreto que dice que tal o cual sistema de números es "el mismo" salvo isomorfismos.
Por ejemplo, el
grupo de las rotaciones del cuadrado es el mismo (isomorfo) que el de las congruencias módulo 4.
(El grupo de rotaciones del cuadrado es el de las rotaciones que rotan los vértices del cuadrado, pero a la vista se ve igual, o sea, no está el cuadrado inclinado, ni nada similar)
Pero ese mismo grupo no es isomorfo al grupo de las
matrices ortogonales de nxn con la operación de producto matricial.
No son isomorfos, a pesar de que
cumplen los mismos axiomas de grupo.
Pero los
sistemas de números por suerte "no tienen ese inconveniente", sino que todos los ejemplos concebibles de enteros, por ejemplo, son "isomorfos" entre sí, "son el mismo".
O sea,
no sólo cumplen los mismos axiomas, sino que
además puede tomarse cualquiera de ellos como sustituto de otro.Y por eso es posible andar tan tranquilos usando un sistema de números como si fuera "uno solo".
En matemática, ser "uno solo" significa esto, "
que multitud de objetos se identifiquen por alguna noción de equivalencia que los identifique".
Esas relaciones suelen recibir el nombre de "
isomorfismos", pero podríamos pensar también que en el gran universo de los sistemas posibles, se establece una "
relación de equivalencia".
¿Cuales son los elementos de N? ¿y los de Z ó Q?
¿Existen esos conjuntos?
Como siempre, no me gusta hablar de elementos y conjuntos en este contexto, porque es necesario asumir que "el" conjunto N está acompañado de otros objetos (operaciones, relaciones), que determinan una estructura.
Pero la cuestión de la existencia...
Podemos verlo así.
Todos los grupos isomorfos al grupo de rotaciones del cuadrado forman una clase.
"Ser isomorfo a" es una
relación de equivalencia entre grupos.
Por lo tanto, se puede definir, como siempre, una
relación de equivalencia, que dará lugar a una
clase de equivalencia.
El
grupo de rotaciones del cuadrado será un
representante de esa clase, al igual que lo es el
grupo de las congruencias módulo 4 con la suma.
De esta manera, todos los grupos quedan clasificados en clases enormes (que no son conjuntos, seguramente), que contienen, cada una de ellas, todos los
grupos isomorfos entre sí.
Ese ejemplo creo que es fácil de comprender.
Ahora la misma idea la aplicamos a
sistemas de números.
Hay un tipo de i
somorfismo que es el de "p
reservación de propiedades de enteros", digamos.
Entonces, de nuevo, todos los
sistemas de enteros, que a su vez sean isomorfos, formarán una determinada
clase de equivalencia.
Pero hemos probado que, en realidad,
todos los sistemas de enteros son isomorfos.
O sea que hay
una sola clase de equivalencia vía esos isomorfismos.
En cierto modo, esa gran clase, que contiene a todos los sistemas de enteros posibles, es lo que vendrían a precisar el concepto de lo que son los
números enteros.
Sin embargo, en la práctica, estaríamos trabajando con un representante específico de esa clase, aunque daría igual cuál usemos, porque lo que se demuestre para uno valdrá para todos, siempre y cuando las propiedades que usemos sean "
sólo aquellas que vengan de los axiomas", porque esas propiedades son
las que preservan los isomorfismos.
Puede haber otras propiedades "peculiares", de las que los isomorfismos no nos dicen nada.
Los axiomas junto con el teorema de "unicidad" son los que nos garantizan que en esencia hay "un solo" sistema de enteros.
Cuando hablamos de "
el conjunto de enteros" es que estamos trabajando con un
representante de todos los posibles sistemas.
En ese sentido,
sí que estamos usando un
conjunto propiamente dicho. Sólo que
no especificamos cuál de todos los de la gran familia es el que estamos usando. Pero se trabaja con
un conjunto concreto, porque si no... ¿cómo hacemos?
En los libros en vez de decir, sea Z "
el conjunto de enteros", debiera decir, sea Z "
un sistema de enteros".
Todo lo que se pruebe con un Z, se podrá probar con cualquier otro Z', así que los teoremas seguirían valiendo...
¿Qué son los números en realidad? Eso francamente no lo sé, y creería que nadie lo sabe.
Pero aún así, creo que todos estos isomorfismos y construcciones son algo maravilloso que nos da una comprensión acabada de lo que son.
Además es sorprendente que los números tengan una estructura tan sólida, uniforme, inambigua.
Por un lado, sus propiedades o axiomas obedecen a motivos que en cierto modo vienen de la intuición humana de número, y de las propiedades que les hemos impuesto.
Pero luego, cuando se los estudia a fondo, se ve que tienen mucha más riqueza y estructura de la que se sospechaba en un principio.
Me parece que por ahora
la mejor comprensión que soy capaz de alcanzar de qué cosa son los números viene dada por este trío de:
axiomas + construccion-de-modelos + teoremas de unicidad
que he expuesto.
Pero siempre queda la duda de qué son realmente, aunque ahora estoy más contento con las cosas que he aprendido... y que ya sabía, sólo que no sabía que las sabía hasta que empecé a escribirlas.
Una cosa es demostrar que un teorema es cierto, y otra es lograr cierta "comprensión" del asunto.
Esa tarea extra-matemática roza peligrosamente lo no-lógico, y por eso me da algo de culpa defender tanto una "actitud" que no es nada "demostrable", pero que confío en que llevan por el buen camino.