Considéralo una función de dos variables con un parámetro (o 3 variables, si en vez de considerar n como parámetro lo consideras variable):
\( c=f(a,b;n) \), una superficie cambiante según n, vista en 3D. Mañana tengo examen, y hoy también, así que no tengo tiempo de ploteártelo, pero se hace rápido
Esa sería la superficie que cumplen la igualdad. El teorema de Fermat se cumplirá si los puntos de las superficies correspondientes a \( n>2 \) no tienen coordenadas enteras, siendo las coordenadas a,b,c (esto de las coordenadas lo puedes ver mejor si enuncias el teorema de Fermat con otras letras, \( x^n+y^n=z^n \)).
Visto de otra forma, puedes considerar \( F(a,b,c)=0 \) como una función escalar de tres variables (temperatura en el espacio de tres dimensiones, por ejemplo), en la que las raíces no pueden tener, nunca, las tres coordenadas enteras (La temperatura igual a 0 no se alcanza en ningún punto con coordenadas enteras).
Y visto de otra forma, puedes considerar \( dF=0\Rightarrow{}F(a,b,c)=C \), con
\( dF=na^{n-1}da+nb^{n-1}db-nc^{n-1}dc=0\Rightarrow{}a^{n-1}da+b^{n-1}db-c^{n-1}dc=0 \)
Lo curioso de esto es que el gradiente te queda... los \( a^n,b^n,c^n \) del teorema de Fermat pero n con 1 unidad menos. ¡De aquí se puede sacar una forma de demostrar el teorema de Fermat (entero, para todo n>2) pensando un poco seguro!
EDITO A CONTINUACIÓN
Ploteo de la función \( c=f(a,b;n) \) para \( n=1,2,3,4 \)
Las primeras dos imágenes corresponden a n=1 y a n=2. En ellas sucede que se pueden encontrar posiciones x,y enteras cuya z correspondiente, dada por la superficie, es también entera. En las otras dos superficies, pese a ser tan parecidas, ya no tienen esa facultad (teorema de Fermat)
