Autor Tema: Inducción con número combinatorio

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Abril, 2021, 02:05 am
Leído 86 veces

nktclau

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,534
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola FORO!! Espero todos estén muy bien!  ;)

Necesito de su ayuda por favor con el siguiente ejercicio lo he hecho dos veces, y las dos llego a lo mismo, pero no logro ver la tesis inductiva.

Probar que para todo \( n \in{\mathbb{N}} \) vale \( \displaystyle\sum_{j=1}^n{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\displaystyle\binom{2n}{n}(2n+1)-1 \)

Se verifica para \( P(1) \)

Supongo que \( P(k):\displaystyle\sum_{j=1}^k{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\color{red}\displaystyle\binom{2k}{k}(2k+1)-1 \) es verdadero

DPQ: \( P(k+1):\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\displaystyle\binom{2(k+1)}{k+1}(2(k+1)+1)-1=\color{blue}\displaystyle\binom{2k+2}{k+1}(2k+3)-1 \) es verdadero

Demostración

\( P(k+1):\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}= \) desarrollo el último término

\( \displaystyle\sum_{j=1}^{k}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}+\left[3(k+1)+2\right]\displaystyle\binom{2(k+1)-1}{k+1}= \) uso hipótesis inductiva y opero un poco el número combinatorio

\( \color{red}\displaystyle\binom{2k}{k}(2k+1)-1\color{black}+\left[3(k+1)+2\right]\displaystyle\binom{2k+1}{k+1}= \)

Aplico la definición de número combinatorio

\( \displaystyle\frac{(2k+1)(2k)!}{k!(2k-k)!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!(2k+1-k-1)!}-1= \)

\( \displaystyle\frac{(2k+1)(2k)!}{k!k!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!k!}-1= \)

Como \( (2k+1)(2k)!=(2k+1)! \)


\( \displaystyle\frac{(2k+1)!}{k!k!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!k!}-1= \)

Saco denominador común

\( \displaystyle\frac{(2k+1)!(k+1)!+k!(2k+1)!(3k+5)}{k!k!(k+1)!}-1= \)

Escribo a \( (k+1)!=(k+1)k! \)

\( \displaystyle\frac{(2k+1)!(k+1) k!+k!(2k+1)!(3k+5)}{k!k!(k+1)!}-1= \)

saco factor común\( k!(2k+1)! \)

\( \displaystyle\frac{k!(2k+1)!\left[k+1+3k+5 \right]}{k!k!(k+1)!}-1= \)

\( \displaystyle\frac{(2k+1)!2(2k+3)}{k!(k+1)!}-1 \) no se que más podría hacer para llegar a la tesis inductiva\( \color{blue}\displaystyle\binom{2k+2}{k+1}(2k+3)-1 \) o dónde puede estar el error.  :banghead: :banghead: :banghead:

Muchas Gracias

Saludos

21 Abril, 2021, 02:42 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,318
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nktclau

Ya llegaste a la respuesta simplemente multiplica por (k+1) numerador y denominador de la fracción y ya esta demostrado. Ojo \( (2k+1)! \ 2 \  (k+1)=(2k+2)! \)

Detallando un poco, al multiplicar por (k+1) se tiene :

\( \displaystyle\frac{(2k+1)! \ 2 \ (2k+3) \ (k+1)}{k! \ (k+1)! \ (k+1)}-1=\displaystyle\frac{(2k+2)! \ (2k+3)}{(k+1)! \ (k+1)!}-1=..... \)

Saludos

21 Abril, 2021, 06:14 pm
Respuesta #2

nktclau

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,534
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola delmar MUCHÍSIMAS GRACIAS!!!!! por la GRAN AYUDA No lo veía  :banghead: :banghead: :banghead:


Saludos