Autor Tema: Derivadas parciales de varias variables

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20 Abril, 2021, 11:40 am
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luciaBF

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Hola buenas, tenía una duda sobre cómo saber si no existe una derivada parcial. Si pudiesen poner un ejemplo sería de gran ayuda.

Muchísimas gracias.

20 Abril, 2021, 11:59 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola buenas, tenía una duda sobre cómo saber si no existe una derivada parcial. Si pudiesen poner un ejemplo sería de gran ayuda.

Muchísimas gracias.

Por ejemplo \( f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},\, (x,y)\mapsto |x| \), entonces \( \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=0 \) pero \( \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\frac{d}{dx}|x| \), la cual no existe si \( x=0 \).

20 Abril, 2021, 11:33 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola LuciaBF

Bienvenida al foro

Solamente un consejo cuando tengas que escribir fórmulas hazlas en LATEX, hay un tutorial.

El ejemplo de Masacroso es muy bueno, detallando

Se tiene un campo escalar :

\( f:R^2\rightarrow{R} \)

\( (x,y)\rightarrow{f(x,y)=\left |{x}\right |} \)

Estudiando el campo escalar, ¿Existe la derivada parcial de f en la dirección x en el punto (0,0)? Eso equivale a preguntar si existe la derivada respecto al vector \( \vec{e_1}=(1,0) \) en el punto (0,0), esto se suele denominar \( D_xf(0,0) \) por definición la interrogante es :

¿Si existe \( D_xf(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(\vec{O}+h\vec{e_1})-f(\vec{O})}{h}} \)?

Desarrollando la expresión se tiene :

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(\vec{O}+h\vec{e_1})-f(\vec{O})}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f((0,0)+h(1,0))-f((0,0))}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f((h,0))-f((0,0))}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |-\left |{0}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}} \)

En este punto se tiene que ese límite no existe por :

Al acercarse por la derecha \( h>0 \) se tiene :

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\displaystyle\frac{h}{h}}=1 \)

Al acercarse por la izquieda \( h<0 \)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\displaystyle\frac{-h}{h}}=-1 \)

Al no coincidir ambos límites no existe \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}\Rightarrow{No \ \exists{D_xf(0,0)} } \)


Saludos