Autor Tema: Probar que el espacio Euclidiano no es una ultramétrica

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20 Abril, 2021, 06:35 am
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cristianoceli

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Hola tengo dificultades con este ejercicio:

Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Lo que he hecho:

Una ultrametrica se define como: Sea \( (M,d) \) un espacio métrico. La métrica \( d \)  se dice ultrametrica si

$$d(x,y) \leq{max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} }$$

Entonces tengo que probar que \( d(x,y) > {max \{ d(x,z) ,d(y,z) \} } \) . Sabemos que la métrica Euclidena se tiene que \( d= {(\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}})^{\frac{1}{2}} \)

Entonces como es métrica se cumple que \( d(x,z)\leq{d(x,y)+d(y,z)} \)

No se si la desigualdad triangular la pueda relacionar para probar que no es ultrametrica o que puedo hacer.


Saludos

20 Abril, 2021, 08:00 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Elige para \( n\ge 2 \),

        \( x=(0,0,\ldots , 0) \), \( y=(1,1,\ldots , 1) \), \( z=(1,0,\ldots , 0) \). Entonces,

        \( d(x,y)=\sqrt{n} \),  \( d(x,z)=1 \),  \( d(y,z)=\sqrt{n-1} \),

con lo cual no es cierto que \( d(x,y) \leq \max \{ d(x,z) ,d(y,z) \}  \) para todo \( x,y,z \) vectores de \( \mathbb{R}^n \).

20 Abril, 2021, 02:33 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Pruebe que el espacio Euclidiano \( {\mathbb{R}}^n \) para \( n \geq{2} \) con la métrica \( d \) no es ultramétrica

Elige para \( n\ge 2 \),

        \( x=(0,0,\ldots , 0) \), \( y=(1,1,\ldots , 1) \), \( z=(1,0,\ldots , 0) \). Entonces,

        \( d(x,y)=\sqrt{n} \),  \( d(x,z)=1 \),  \( d(y,z)=\sqrt{n-1} \),

con lo cual no es cierto que \( d(x,y) \leq \max \{ d(x,z) ,d(y,z) \}  \) para todo \( x,y,z \) vectores de \( \mathbb{R}^n \).

Muchas gracias.

Saludos