Autor Tema: Número de condición de una matriz

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20 Abril, 2021, 04:27 am
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Hauss

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Hola, no sé si este sea el lugar correcto para la siguiente pregunta, pero la han puesto en mi curso de álgebra lineal aunque cuando busco información relacionada me dirige a tópicos de análisis numérico y otras cosas, bueno, la duda es la siguiente:

Definimos el número de condición respecto a la 2-norma como: \( \kappa_2(A)=||A||_2 ||A^{-1}||_2 \), el ejercicio es el siguiente:\( \\ \)
Relacionar el número de condición respecto a la 2-norma de \( X\in \Bbb R^{m\times n}\ (m\geq n) \) con el número de condición respecto a la 2-norma de las matrices:
\[ B=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
I_m & X\\
0 & I_n
\end{bmatrix}
\end{equation} \] y \[ C=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
X\\
I_n
\end{bmatrix}
\end{equation}  \]

Bueno, hay una identidad que nos dice que si B es una submatriz de una matriz A, se tiene que \( ||B||_2\leq ||A||_2 \). Entonces traté de aplicar esto directamente, de la siguiente forma:
\[ k_2(X)=||X||_2 ||X^{-1}||_2\leq ||B||_2||B^{-1}||_2=k_2(B) \] y en el otro caso es muy similar, pero hice algunas pruebas numéricas para algunas matrices y no concuerdan los resultados, yo pienso que mi error radica en que no necesariamente se tendría que \( X^{-1} \) sea submatriz de \( C^{-1} \). Numéricamente obtengo la conjetura de que:\[ \kappa_2(C)\leq \kappa_2(X) \leq \kappa_2(B) \], pero no veo como probarlo.

Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar de antemano y una disculpa si no está publicada en el tópico correcto.

20 Abril, 2021, 09:16 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, no sé si este sea el lugar correcto para la siguiente pregunta, pero la han puesto en mi curso de álgebra lineal aunque cuando busco información relacionada me dirige a tópicos de análisis numérico y otras cosas, bueno, la duda es la siguiente:

Definimos el número de condición respecto a la 2-norma como: \( \kappa_2(A)=||A||_2 ||A^{-1}||_2 \), el ejercicio es el siguiente:\( \\ \)
Relacionar el número de condición respecto a la 2-norma de \( X\in \Bbb R^{m\times n}\ (m\geq n) \) con el número de condición respecto a la 2-norma de las matrices:
\[ B=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
I_m & X\\
0 & I_n
\end{bmatrix}
\end{equation} \] y \[ C=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
X\\
I_n
\end{bmatrix}
\end{equation}  \]

Hay algo que no encaja desde el principio. Si la matriz \( X \) NO es cuadrada, entonces no existe la inversa \( X^{-1} \) y por tanto esta definición:

\( \kappa_2(X)=||X||_2 ||X^{-1}||_2 \)

Saludos.

20 Abril, 2021, 04:19 pm
Respuesta #2

Hauss

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Hola.

No sé si funcione, aunque creo yo que no, pero también se da una fórmula alternativa para la \( \kappa_2(A)=\dfrac{\sigma_{max}}{\sigma_{min}} \), donde \( \sigma_{max}, \sigma_{min} \) representan el mayor y el menor valor singular respectivamente.

Digo que no creo que funcione, pues la deducción que conozco proviene de la existencia de la inversa. Aunque con esto, si consideramos el teorema de descomposición en valores singulares, para toda matriz podríamos obtener el número de condición respecto a la 2-norma.

Cómo nota, esto último y el ejercicio mismo, lo encontré en el libro de Golub, "Matrix computations".