Autor Tema: Limite con teorema del sandwich

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19 Abril, 2021, 05:00 pm
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franma

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Buenas,

El ejercicio dice lo siguiente:
Sea \( f:[0,1]\longrightarrow R \) tal que:

\( f(x)=\begin{cases}{\frac{1}{n}}&\text{si }& \frac{1}{n} < x \leq \frac{1}{n-1}\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

a) Bosquejar el grafico de \( f \) y deducir que \( 0<f(x)<x, \forall x \in (0,1] \)
b) Probar que \( f \) es continua en \( x = 0 \).

La primera parte ya la tengo hecha, y la deducción viene de que \( x>\frac{1}{n}=f(x) \) entonces \(  x>f(x) \) (o creo yo que es así :laugh:)

Ahora para la segunda parte intuyendo por la deducción de la 1era parte debo usar el teorema del sándwich.
Ya tendría mi \( g(x)=x \) que cumple \(  f(x)\leq g(x) \) para encontrar ahora h(x) tal que \( h(x)\leq f(x) \).
Lo pensé durante un rato y se me ocurrió que \( h(x)=0  \) ya que \( f(x)  \) tiene la forma \( \frac{1}{n}>0 \) para todos los números diferentes de 0 así que siempre estará acotada inferiormente por 0 (exceptuando el mismo x=0).

Además \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{h(x)} = \lim_{x \to{0}}{g(x)} = 0 \) así que estaría dentro de la hipótesis para usar el teorema del sándwich, aquí podría concluir entonces que \( \displaystyle \lim_{x \to{0}}{f(x)} = 0 \) que es igual a \( f(0)=0 \) así que \( f \) es continua en 0 como se quería demostrar.

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

19 Abril, 2021, 05:59 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    Es correcto. Para el segundo apartado y en términos de redacción hubiera bastado

        \( 0 < f(x) < x\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Teor. Sandwich}} \displaystyle\lim_{x \to 0}0\le \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) \le \displaystyle\lim_{x \to 0} x\Rightarrow 0\le \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)\le 0 \)

        \( \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=0=f(0)\Rightarrow f\text{ es continua en }x=0. \)

20 Abril, 2021, 02:13 am
Respuesta #2

franma

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Gracias Fernando, me he liado un poco para explicarlo.

Saludos,
Franco
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