Autor Tema: Sea X, un espacio métrico demuestre que si....

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18 Abril, 2021, 12:29 am
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angelabayona

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Hola pido la ayuda porque no entiendo los conceptos, he visto vídeos, leído documentos y de verdad no entiendo, que conocimientos previos debo de tener para entender bien los conceptos de topología? De teoría de conjuntos tengo conocimiento, pero, hay algo más que debería saber para poder entender? Espero me ayuden porque me interesa aprender. En estos momentos estoy en un grado de frustración, queriendo abandonar pero sé que no es lo que debo hacer, sino vencer la dificultad que se me presente.
Sea X, un espacio métrico demuestre que si \(  A , B \subset{}X \) son completos, entonces \(  A \cup{}B  \) es completo.

18 Abril, 2021, 12:53 am
Respuesta #1

geómetracat

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No es necesario ningún conocimiento previo especial más allá de teoría de conjuntos básica para hacer topología. Algo de análisis puede ayudar, pero no es indispensable. Es cuestión de practicar, pensar y hacer muchos ejercicios.

Para lo que preguntas: hay que ver que toda sucesión de Cauchy \[ (x_n) \] en \[ A \cup B \] es convergente. Existe una subsucesión (que sigue siendo de Cauchy) contenida en \[ A \], o bien una contenida en \[ B \]. Como \[ A \] y \[ B \] son completos, esta subsucesión converge. Finalmente, la sucesión original \[ (x_n) \] converge al mismo límite, pues si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces es convergente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Abril, 2021, 02:15 pm
Respuesta #2

angelabayona

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Por favor, me puedes dar un ejemplo? De verdad me gusta hacer yo misma mis ejercicios pero la información que he buscado, no logro entenderla, por eso pido ayuda. La necesito.

19 Abril, 2021, 04:47 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Pues te digo lo mismo que en el otro hilo, no estoy muy seguro de qué te va a servir un ejemplo aquí a la hora de pensar un argumento general. Como ejemplo puedes tomar \[ A,B \] dos subespacios completos de un espacio métrico, por ejemplo \[ A=[0,1] \] y \[ B=[1,2] \]. Y su unión es \[ A\cup B = [0,2] \] que efectivamente es completo, pero esto no dice mucho sobre el argumento general que prueba que la unión de dos subespacios completos es completa.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Abril, 2021, 04:11 am
Respuesta #4

angelabayona

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Hola necesito saber como se demuestra. Ayudenme por favor

20 Abril, 2021, 08:54 am
Respuesta #5

geómetracat

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Hola necesito saber como se demuestra. Ayudenme por favor

Ya te puse cómo se demuestra:
Para lo que preguntas: hay que ver que toda sucesión de Cauchy \[ (x_n) \] en \[ A \cup B \] es convergente. Existe una subsucesión (que sigue siendo de Cauchy) contenida en \[ A \], o bien una contenida en \[ B \]. Como \[ A \] y \[ B \] son completos, esta subsucesión converge. Finalmente, la sucesión original \[ (x_n) \] converge al mismo límite, pues si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces es convergente.

Si no entiendes la demostración o no sabes completar los detalles, vuelve a preguntar especificando qué es concretamente lo que no entiendes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

Hoy a las 05:01 am
Respuesta #6

angelabayona

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¿Estaría bien demostrar asi?:

Sea \(  \displaystyle\{x_{n_m\}_{m\in{}N}} \) subsucesión  dada contenida en \( A \) por ser una sucesion de Cauchy, en \( A \), convergería entonces hacia un punto \(  \displaystyle a \in{A} \)

\( \displaystyle\forall{} \epsilon  >0, \exists{} v_1 \in{} N, \forall{}m\geq{} v_1 : d (x_{n_m},a )< \frac{\epsilon}{2}  \)

Por otra parte , por ser  \( \displaystyle\{x_n\}_{n\in{}N}  \) una sucesión de Cauchy:

\( \displaystyle\exists{v_2} \in {N},\forall{n}, n´ \ge v_2: d(x_n, x_n´)< \frac{\epsilon}{2} \)

luego \(  \displaystyle v= max (v_1, v_2) \) con lo que se verifica \( n_v \ge n_{v_1}   \)  y  \( \displaystyle n_v \ge n_{v_2}\ge v_2  \)  luego
 
 \( \displaystyle\forall{}n\geq{}v : d(x_n, a)\leq{}d(x_n , x_{n_v}+ d(x_{n_v}, a )<  \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}= \epsilon \)

es decir; toda la sucesión \( \displaystyle\{x_n\}_{n\in{}N}  \) converge hacia \( a \).

Hoy a las 09:14 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

¿Estaría bien demostrar asi?:

Sea \(  \displaystyle\{x_{n_m\}_{m\in{}N}} \) subsucesión  dada contenida en \( A \) por ser una sucesion de Cauchy, en \( A \), convergería entonces hacia un punto \(  \displaystyle a \in{A} \)

\( \displaystyle\forall{} \epsilon  >0, \exists{} v_1 \in{} N, \forall{}m\geq{} v_1 : d (x_{n_m},a )< \frac{\epsilon}{2}  \)

Por otra parte , por ser  \( \displaystyle\{x_n\}_{n\in{}N}  \) una sucesión de Cauchy:

\( \displaystyle\exists{v_2} \in {N},\forall{n}, n´ \ge v_2: d(x_n, x_n´)< \frac{\epsilon}{2} \)

luego \(  \displaystyle v= max (v_1, v_2) \) con lo que se verifica \( n_v \ge n_{v_1}   \)  y  \( \displaystyle n_v \ge n_{v_2}\ge v_2  \)  luego
 
 \( \displaystyle\forall{}n\geq{}v : d(x_n, a)\leq{}d(x_n , x_{n_v}+ d(x_{n_v}, a )<  \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}= \epsilon \)

es decir; toda la sucesión \( \displaystyle\{x_n\}_{n\in{}N}  \) converge hacia \( a \).

Lo que estás demostrando ahí es que una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente, es convergente.

Eso es un resultado auxiliar que usas para probar el otro resultado que te querías probar en tu primera pregunta del hilo. Es decir del camino propuesto por geómetracat:

1) Hay que ver que toda sucesión de Cauchy \[ (x_n) \] en \[ A \cup B \] es convergente.
2) Existe una subsucesión (que sigue siendo de Cauchy) contenida en \[ A \], o bien una contenida en \[ B \].
3) Como \[ A \] y \[ B \] son completos, esta subsucesión converge.
4) Finalmente, la sucesión original \[ (x_n) \] converge al mismo límite, pues si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces es convergente.

Estás probando el punto (4).

Saludos.

Hoy a las 12:39 pm
Respuesta #8

angelabayona

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por favor, me pueden ayudar? llevo dias tratando de resolverlo y no he podido, yo pensaba que con eso ya estaba el problema. no se que hacer.