Autor Tema: Demostrar que todo espacio métrico compacto, es completo.

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18 Abril, 2021, 12:20 am
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angelabayona

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Hola, necesito ayuda con estas demostraciones por favor.
Espero puedan ayudarme.
 a)Demostrar que todo espacio métrico compacto, es completo.
 

18 Abril, 2021, 12:48 am
Respuesta #1

geómetracat

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Considera una sucesión de Cauchy y veamos que converge. Como el espacio es compacto, la sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente. Pero una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente es una sucesión convergente (ejercicio).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Abril, 2021, 02:12 pm
Respuesta #2

angelabayona

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Por favor me puedes dar un ejemplo, en los libros me he topado con conceptos y las demostraciones, pero no veo un ejemplo concreto. Esto hace que se me dificulte mucho mas entender

19 Abril, 2021, 04:44 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Pues es que me resulta difícil dar un ejemplo que sea ilustrativo de algo. Para demostrar un teorema debes dar un argumento general, un ejemplo no sirve de mucho. Te puedo dar ejemplos de un espacio métrico compacto, como \[ [0,1] \], que es completo. Te puedo dar ejemplos de sucesiones de Cauchy en ese espacio, como \[ (1/n) \], y puedes ver que convergen a un punto de ese espacio (a \[ 0 \] en este caso). Pero no estoy seguro de que esto ayude a la hora de pensar la demostración de que todo espacio métrico compacto es completo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

19 Abril, 2021, 06:24 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 En la línea de lo que apunta geómetracat, tienes que aclarar si tus problemas son para entender las demostraciones concretas que estás pidiendo o más en general los conceptos de topologías.

 Si es lo segundo, como punto de partida sería mejor que abrieses un nuevo hilo, comentando cuáles si dominas y aquellos que te resultan más oscuros.

Saludos.

19 Abril, 2021, 06:47 pm
Respuesta #5

angelabayona

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Exactamente, quiero entender estas demostraciones

19 Abril, 2021, 07:02 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Exactamente, quiero entender estas demostraciones

Pues no me ha quedado claro.  :D

Por que precisamente yo te indiqué dos posibles tipos de dudas y no me queda todavía claro a que te refieres.

1) Tienes perfectamente claro que es un espacio métrico compacto y un espacio métrico completo, pero no sabes como demostrar que un espacio métrico compacto es completo.

2) No tienes claro que significa que un espacio métrico sea compacto y/o completo.

¿En cuál de las dos situaciones estás?.

Saludos.

20 Abril, 2021, 04:04 am
Respuesta #7

angelabayona

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Estoy en la primera situación, en como se demuestra que todo espacio métrico compacto es completo.

20 Abril, 2021, 09:22 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Estoy en la primera situación, en como se demuestra que todo espacio métrico compacto es completo.

Pero entonces no se trata de ver ejemplos. Se trata de que uno por uno intentes seguir los pasos que ha sugerido geómetracat e indiques en cuál tienes dudas.

Tienes que probar que: "Un espacio métrico compacto es completo".

1) Para ver que un espacio métrico es completo hay que demostrar (por definición de completitud) que toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente.

2) geómetracat te sugiere:

Considera una sucesión de Cauchy y veamos que converge. Como el espacio es compacto, la sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente. Pero una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente es una sucesión convergente (ejercicio).

Es decir:

2.1) Usamos la siguiente propiedad: toda sucesión en un espacio métrico compacto tiene una subsucesión convergente.

2.2) Usamos la conocida propiedad: una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente es convergente.

Entonces indica en que paso tienes dudas y trata de detallar cuáles son ("esto" lo entiendo, "esto otro" no).

Saludos.