Hola
Buenas noches estimado: Mirando la respuesta quiero consultar lo siguiente:
Cómo haces para pasar de esto \( 2-q^2>2q\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2} \) a esto \( q<q+\displaystyle\frac{1}{n} \)
Espero respuesta! gracias!
Lo que quiere razonar Juan Pablo es que si el candidato a máximo \( q \) cumple \( q^2<2 \), entonces podemos encontrar otro racional en \( A \) mayor que \( q \), contradiciendo la condición de máximo.
Ese otro racional lo buscamos de la forma \( q+\dfrac{1}{n_0} \). Queremos que:
\( \left(q+\dfrac{1}{n_0}\right)^2<2 \)
Operando equivale a:
\( \dfrac{2q}{n_0}+\dfrac{1}{n_0^2}<2-q^2 \) (*)
Entonces tienes que justificar que puedes encontrar un natural \( n_0 \) cumpliendo (*).
Spoiler
Por ejemplo nota que:
\( \dfrac{2q}{n_0}+\dfrac{1}{n_0^2}<\dfrac{4}{n_0}+\dfrac{1}{n_0}=\dfrac{5}{n_0} \)
Basta tomar \( n_0 \) tal que \( \dfrac{5}{n_0}<2-q^2 \) es decir \( n_0>\dfrac{5}{2-q^2} \)
Una vez que lo hagas, has demostrado que \( q+\dfrac{1}{n_0}\in A \). Como \( q+\dfrac{1}{n_0}>q \) entonces \( q \) no puede ser el máximo.
Los casos \( q^2\geq 2 \) que plantea Juan, son en realidad innecesarios. Si \( q \) es el máximo de \( A \) tiene que pertenecer al conjunto y los ejemplos del conjunto \( A \) cumplen \( q^2<2 \).
Saludos.