[w a y s]

Hola, traigo el siguiente enunciado:

  En el conjunto totalmente ordenado $$(\mathbb{Q},\leq)$$ se considera el conjunto $$A=\{x\in \mathbb{Q} : x^2>2\}$$. Demuestra que $$A$$ está acotado inferiormente pero no tiene ínfimo.

Ver que está acotado inferiormente es fácil ya que $$0 \in \mathbb{Q}$$ y para todo $$x \in A $$ se tiene que $$0 <x$$; sin embargo no soy capaz de ver cómo demostrar que no tiene ínfimo.

¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

Agregado: Creo que ya sé cómo hacerlo. Podemos ver que para todo $$c\in \mathbb{Q}$$ tal que $$c< \sqrt{2}$$; es cota inferior de $$A$$. Supongamos ahora que $$c=ínf(A)$$ entonces no puede ser que $$\sqrt{2}<c$$ ya que entocnes existiría otro $$x \in A$$ tal que $$x<c$$ y eso contradice la definición de cota inferior. Tampoco podría ser $$c=\sqrt{2}$$ ya que $$\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$$.

Entonces necesariamente se tiene que $$c<\sqrt{2}$$; entonces existirá algún $$z \in \mathbb{Q}$$ tal que $$c<z<\sqrt{2}$$, de manera que $$z$$ también sería cota inferior de $$A$$, luego $$c$$ no sería ínfimo. Concluimos que no existe el ínfimo de $$A$$, ¿podría alguien, por favor, decirme si esto es correcto?

[sugata]

Yo de estos temas no entiendo mucho, pero si fuera en \( \mathbb{R} \) el ínfimo sería \( \sqrt[ ]{2} \), pero al ser en \( \mathbb{Q} \)....

Edito: has editado mientras escribías.
Ahora lo veo pero tiene buena pinta.

[geómetracat]

Tal como lo has escrito está mal el enunciado. \[ A \] no está acotado inferiormente, pues cualquier \[ x<-\sqrt{2} \] racional cumple que \[ x^2>2 \].

Sospecho que en realidad se refieren al conjunto \[ A=\{x \in \Bbb Q:x^2>2, x>0\} \]. En ese caso sí está acotado inferiormente (por ejemplo por \[ 0 \], como dices). Intuitivamente está claro que no tiene ínfimo: el ínfimo debería ser \[ \sqrt{2} \], pero no es racional.

Vamos a ver que no tiene ínfimo. Sea \[ x \in \Bbb Q \]como no existe \[ x\in \Bbb Q \] con \[ x^2=2 \], tenemos o bien \[ x^2>2 \] o bien \[ x^2<2 \]. En el primer caso, hay que probar que existe un \[ y<x \] racional con \[ y^2>2 \] (luego \[ x \] no puede ser ínfimo), y en el segundo caso hay que probar que hay un \[ y>x \] racional con \[ y^2<2 \] (luego de nuevo \[ x \] no puede ser ínfimo).
En definitiva, ningún \[ x\in \Bbb Q \] es ínfimo de \[ A \].

Mientras escribía esto he visto el añadido. Está bien, siempre que puedas trabajar en \[ \Bbb R \] y usar que \[ \Bbb Q \] es denso en \[ \Bbb R \]. Tal como te lo planteaba yo trabajas exclusivamente en \[ \Bbb Q \] y evitas recurrir al hecho de que \[ \Bbb Q \] es un subcuerpo ordenado denso de \[ \Bbb R \].

[w a y s]

Hola geómetracat, sugata, antes que nada, gracias por vuestras respuestas.

Tal como lo has escrito está mal el enunciado. \[ A \] no está acotado inferiormente, pues cualquier \[ x<-\sqrt{2} \] racional cumple que \[ x^2>2 \].

Sospecho que en realidad se refieren al conjunto \[ A=\{x \in \Bbb Q:x^2>2, x>0\} \]. En ese caso sí está acotado inferiormente (por ejemplo por \[ 0 \], como dices). Intuitivamente está claro que no tiene ínfimo: el ínfimo debería ser \[ \sqrt{2} \], pero no es racional.

Mientras escribía esto he visto el añadido. Está bien, siempre que puedas trabajar en \[ \Bbb R \] y usar que \[ \Bbb Q \] es denso en \[ \Bbb R \]. Tal como te lo planteaba yo trabajas exclusivamente en \[ \Bbb Q \] y evitas recurrir al hecho de que \[ \Bbb Q \] es un subcuerpo ordenado denso de \[ \Bbb R \].

La verdad es que no me había dado cuenta de eso, tienes razón, sin embargo el enunciado estaba así tal cual, lo he sacado de un examen de mi facultad. Sin embargo, sí que se me olvido añadir, que se podía usar que $$\mathbb{Q}$$ es denso en $$\mathbb{R}$$ (esto viene especificado en el examen justo debajo del enunciado).

Supongo que es una errata. Yo andaba despistado y cuando lo estaba resolviendo pensaba que el conjunto era $$A=\{x \in \Bbb{Q} : x>\sqrt{2}\}$$.

Vamos a ver que no tiene ínfimo. Sea \[ x \in \Bbb Q \]como no existe \[ x\in \Bbb Q \] con \[ x^2=2 \], tenemos o bien \[ x^2>2 \] o bien \[ x^2<2 \]. En el primer caso, hay que probar que existe un \[ y<x \] racional con \[ y^2>2 \] (luego \[ x \] no puede ser ínfimo), y en el segundo caso hay que probar que hay un \[ y>x \] racional con \[ y^2<2 \] (luego de nuevo \[ x \] no puede ser ínfimo).
En definitiva, ningún \[ x\in \Bbb Q \] es ínfimo de \[ A \].

Al principio me ha costado un poco ver esto, pero creo que ya lo he pillado. Muchas gracias por tu demostración.

Gracias a ambos, de nuevo, por vuestra ayuda.

Saludos.