Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio:
En \( \left(\mathbb{R}^2, \tau_u \right) \) se considera la relación de equivalencia:
\( (x,y) \sim (z,t) \Longleftrightarrow{} \begin{cases} y, t \in [-2,2] \\ y, t \not \in [-2,2] \end{cases} \)
Y pide determinar las clases de equivalencia y el espacio cociente, decir si este es Hausdorff y/o conexo por caminos, y calcular el grupo fundamental del espacio en \( [(0,0)] \).
Las dos primeras preguntas creo que las se responder, obtengo que
\( \mathbb{R}^2/\sim=\left\{ [(0,0)], [(0,3)] \right\} \)
y que la topología cociente es
\( \tilde{\tau}=\left\{\mathbb{R}^2/\sim , \emptyset , \left\{ [(0,3)] \right\} \right\} \).
No es Hausdorff pues el único abierto que contiene a \( [(0,0)] \) es el espacio total, y es conexo por caminos pues tome la aplicación
\( \alpha(t)=\begin{cases} [(0,0)] & \text{si}& 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
[(0,3)] & \text{si}& \frac{1}{2} < t \leq 1\end{cases} \)
que de ser continua sería el camino deseado entre ambos puntos del espacio, y que creo es continua pues
\( \alpha^{-1}\left( [(0,3)] \right)=\left( \frac{1}{2}, 1 \right] \)
es abierto en \( [0,1] \).
Ahora bien, si todo esto es correcto, no se por donde empezar para calcular el grupo fundamental :/
Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.
