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Mensajes - Masacroso

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1
¿Cómo pasas de \( -4\pm 1 \) a \( 3\pm1 \), no debería ser \( -3\pm 1 \)? Aunque así ya no te salen los resultados.

Simplemente, \[ -4+7=3 \], luego \[ -4 \equiv 3 \mod 7 \]. En cambio, \[ -4 \not\equiv -3 \mod 7 \].
Oh, cierto... vaya, no sé que habré visto para hacer el comentario anterior, la ecuación es muy clara.

2
Por tanto:

\( x\equiv (-4\pm \sqrt{1})\cdot 2^{-1}\equiv (3\pm 1)\cdot 4\equiv \begin{cases}16\equiv 2\\8\equiv 1\end{cases} \)

Saludos.

¿Cómo pasas de \( -4\pm 1 \) a \( 3\pm1 \), no debería ser \( -3\pm 1 \)? Aunque así ya no te salen los resultados.

3
¿Y si X fuera una matriz nxp?

Sería el mismo desarrollo de mi respuesta anterior, esta vez consideraríamos la función bilineal \( b(X,Y):=X^\top Y \) y las funciones lineales \( g(A)=AX \) e \( i(X)=(X,X) \).

4
Hola,
Voy a comenzar la carrera de Matemáticas y buscaba recomendaciones de libros para el primer año. Entiendo que deberían versar sobre análisis, cálculo y algebra lineal. ¿O debería estudiar por los apuntes del profesor?
Saludos

Esto mejor se lo preguntas a tus profesores, generalmente siempre dan libros de referencia en cada asignatura.

5
Probabilidad / Re: Dudas con variables aleatorias
« en: Ayer a las 03:43 am »
Buenas, estaba practicando y me he encontrado con ciertas dudas.

La primera es con la varianza de la pregunta c), en la que no entiendo porque se utiliza la fórmula \( E(x^2) - (Ex)^2 \) en vez de hallarla por el sumatorio de \( (x_i-\mu)^2 * P(X=x_i) \)

Citar
3. Dada la función \( P(x)=K(x+3)^3 \), \( x=0,1,2, 3 \)

a) Calcula para qué valor de \( K \) es función de cuantía.
b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la variable.
c) Calcula la función de distribución.

Y en la 4 no entiendo muy bien como funciona la c), y en el resultado lo que compruebo es que se ha multiplicado la función por \( x \) sin motivo alguno:

Citar
4. el tiempo en horas diario que pasa un adolescente jugando en la videoconsola es una variable aleatoria que tiene por función de densidad \( f(x)=K(x^2-x),\, 1<x<10 \).

a) Determina el valor de \( K \).
b) Calcula la probabilidad de jugar entre dos y tres horas.
c) ¿Cuál es el tiempo esperado de juego?

La solución dada para c) es

\( \displaystyle{
\mu=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)\mathop{}\!d x=\int_{1}^{10}xK(x^2-x)\mathop{}\!d x=K\int_{1}^{10}x(x^2-x)\mathop{}\!d x=\ldots
} \)

Mensaje editado por la moderación. Por favor, la próxima vez transcribe todo a \( \LaTeX \) o al menos lo relevante a las preguntas que se hacen.

Por favor, la próxima vez transcribe todo lo que puedas a \( \LaTeX \) o al menos lo que es relevante al ejercicio, entiendo que pueda ser pesado pero de otro modo el tema resultará bastante menos legible, especialmente si hay elementos escritos en cursiva.

Sobre el tema en sí: la varianza de una variable aleatoria \( X \) se define como \( \operatorname{Var}[X]:=\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2] \), que se puede demostrar que es lo mismo que \( \operatorname{E}[X^2]-(\operatorname{E}[X])^2 \), ya que el operador \( \operatorname{E} \) es lineal y por tanto

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2]=\operatorname{E}[X^2+(\operatorname{E}[X])^2-2X\operatorname{E}[X]]=
\operatorname{E}[X^2]+\operatorname{E}[(\operatorname{E}[X])^2]-\operatorname{E}[2X\operatorname{E}[X]]\\
=\operatorname{E}[X^2]+(\operatorname{E}[X])^2 -2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X]
=\operatorname{E}[X^2]-(\operatorname{E}[X])^2
} \)

ya que \( \operatorname{E}[c]=c \) para cualquier constante \( c \) (ahí una constante representa una variable aleatoria cuyo valor es siempre \( c \)). Por tanto puedes utilizar una definición u otra para calcular la varianza.

Para tu segunda pregunta de por qué \( \operatorname{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}t f_X(t)\mathop{}\!d t \) para una variable aleatoria \( X \) con función de densidad \( f_X \), pues porque ésa seguramente sea la definición que te han dado de \( \operatorname{E}[X] \) cuando \( X \) tiene función de densidad. Mira en tus apuntes.

6
¿Porque tiene que ser cuadrada la matriz para hallar la determinante? Simple pregunta , gracias :D

La función determinante sólo está definida para matrices cuadradas, si \( A\in \mathbb{R}^{n\times n} \) se define formalmente como

\( \displaystyle{
\det(A):=\sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sign}(\sigma )A_{1,\sigma (1)}A_{2,\sigma (2)}\cdots A_{n,\sigma (n)}
} \)

donde \( S_n \) es el grupo de permutaciones de \( n \) elementos, es decir, de funciones biyectivas \( \sigma :\{1,\ldots,n\}\to \{1,\ldots,n\} \). En el siguiente enlace tienes más información:

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matemática)

Citar
Y otra, cuando tengo un conjunto digamos A= (1,2,3),(0,1,1),(3,3,3)   (Los números me los acabo de inventar)
y tengo que ver si es generador de R3, los elementos del conjunto a "(1,2,3),(0,1,1),(3,3,3) " , que son? son vectores? es decir el (1,2,3)

simples preguntas, estoy introduciendo el tema, gracias.

Sí, son vectores de \( \mathbb{R}^3 \), ahí cada número es una coordenada de cada vector.

7
Yo también he leído en diversos libros que los histogramas, de una lista de datos que se supone son continuos, en general son una mala idea ya que produce muchos espejismos, como muestra el enlace dejado por geómetracat. Hay análisis cualitativos mucho mejores como el diagrama de cajas, que sí que dan información mucho más robusta sobre la distribución de la muestra.

Aclaro: me refiero a que hacer histogramas de una lista de datos siempre supone discretizar la muestra.

8
Análisis Matemático / Re: Polinomio de Taylor
« en: 19 Junio, 2021, 06:33 am »
Buenas noches a todos. Con mi tía tenemos una duda con respecto al siguiente ejercicio que dice lo siguiente:
Dado \( f(x)=x^3+\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\, dt \) hallar el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de a=1. Nuestra duda tiene que ver sobre la integración de esa función, nos parece que podría ser de tipo no elemental o directamente no integrable.  Agradecería que nos puedan ayudar. Saludos

Posdata: estoy aprendiendo de a poco a usar LaTex, así que pido disculpas si por ahí me como una mala escritura (lo quiero previsualizar pero no me aparece nada sino solo lo que escribí, no sé por qué ocurre eso).

Efectivamente no parece que tenga una primitiva elemental. Igualmente para hallar el polinomio de Taylor que te piden no te hace falta conocer alguna primitiva de ese integrando.

9
Antes de nada, muchas gracias por responder;

Lo entiendo bastante bien pero lo que si que no consigo probar es que la medida exterior de \( V\times \{0\} \) es cero usando la definición que tengo de medida exterior. Si pudieras aclarármelo estaría muy agradecido ;)

Ok, observa que la familia de conjuntos definida por \( A_{\epsilon ,n}:=[n,n+1]\times (-\epsilon 2^{-|n|},\epsilon 2^{-|n|})  \) para \( \epsilon >0 \) arbitrario y \( n\in \mathbb{Z} \) cubre a \( V\times \{0\} \), y tienes que

\( \displaystyle{
\lambda _2^*(V\times \{0\})\leqslant \sum_{n\in \mathbb{Z}}\lambda _2(A_{\epsilon ,n})=\sum_{n\in \mathbb{Z}}2\epsilon 2^{-|n|}=2\sum_{n\in \mathbb{Z}}\epsilon 2^{-|n|}=2\epsilon +4\epsilon\sum_{n>0} 2^{-n}=6\epsilon
} \)

Como \( \epsilon>0  \) es arbitrario concluimos que \( \lambda _2^*(V\times \{0\})=0 \). Nota: aquí \( \lambda _2^* \) y \( \lambda _2 \) son la medida exterior de Lebesgue y la medida de Lebesgue respectivamente en \( \mathbb{R}^2 \).

10
Cálculo 1 variable / Re: $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: 19 Junio, 2021, 02:07 am »
Entonces ¿que debo concluir?. ¿Que los catedráticos están locos?, ¿que los software matemáticos no trabajan bien?
No se entonces que pensar.

Yo no te discuto que el cambio \( x= \sec \theta  \) pueda hacerse o no, sino que te decía que \( \sqrt{(\tan \theta )^2}=|\tan \theta |\neq \tan \theta  \). El desarrollo de la primera fotocopia que pones, en principio, no me parece correcto por eso mismo, eso no quita que llegue a un resultado correcto a pesar de todo.

Tendría que revisarlo todo más a fondo para ver si, el difeomorfismo implícito que se utiliza al cambiar de variable en la región de integración \( (-\infty ,-1] \) tiene orientación negativa, en ese caso cancelaría el signo de \( \tan \theta  \) (que es el mismo signo que el de \( \theta  \) en la región \( (-\pi/2,\pi/2) \)), o si alguna de las sustituciones que hace después cancela ese signo. En cualquier caso el autor no muestra nada de eso, por eso insisto en que el desarrollo está mal (no está bien fundamentado o explicado) a pesar de que el resultado que obtiene pueda estar bien.

Añadido: una forma más apropiada de justificar el resultado obtenido es el siguiente. Supongamos que \( a<b\leqslant -1 \), entonces con el cambio de variable \( x=-t \) tenemos que

\( \displaystyle{
\int_{a}^b \sqrt{x^2-1}\mathop{}\!d x=\int_{-a}^{-b}\sqrt{(-t)^2-1}\mathop{}\!d (-t)=\int_{-b}^{-a} \sqrt{t^2-1}\mathop{}\!d t, \quad 1\leqslant -b<-a\tag1
} \)

Por tanto si consideramos la función \( g:[1,\infty )\to \mathbb{R},\, t\mapsto \sqrt{t^2-1} \) entonces la primitiva de \( g \) puede calcularse con el cambio de variable \( t= \sec \theta  \), de donde tenemos que \( \theta \in [0,\pi/2) \) (por ejemplo), y en esa región \( |\tan \theta |=\tan \theta  \), por tanto

\( \displaystyle{
\int g(t)\mathop{}\!d t=\int (\tan \theta )^2\sec \theta \mathop{}\!d \theta,\quad \text{ si }\theta \in[0,\pi/2) \tag2
} \)

Hallando una forma explícita para el conjunto de primitivas de \( g \) desde (2), y debido a (1), observamos que cualquier primitiva \( G \) de \( g \) puede extenderse a una primitiva \( F \) de \( f:(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto \sqrt{x^2-1} \) definiendo \( F(x):=\operatorname{sign}(x)\cdot G(|x|) \) para todo \( x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ) \).

11
Foro general / Re: Una IA refuta 5 conjeturas.
« en: 18 Junio, 2021, 01:18 pm »
Interesante

Una IA refuta 5 conjeturas.

Muy interesante, gracias por compartir la noticia.

12
Buenas, vengo con otro problema que me he encontrado en este ejercicio

Un ciudadano tiene la mala costumbre de emborracharse, aunque solo los viernes y los sabados. La llave de su
casa la tiene en un llavero con otras cuatro, todas muy parecidas. Tanto que, incluso cuando esta sereno, las
tiene que ir probando de una en una hasta dar con la adecuada. La tarea se complica cuando ha bebido, pues en
ese caso, tras cada intento, es incapaz de recordar que llave es la que ha probado. Si llega a casa y logra entrar
al tercer intento, ¿cual es la probabilidad de que sea viernes o sabado? (0,204)

Se supone que 0,204 es el resultado correcto. He probado por bayes pero no lo consigo.

Sean \( E1,E2, E3,\ldots  \) el número de intentos antes de entrar y \( B \) el evento "ir borracho", y queremos calcular \( \Pr [B| E3]=\frac{\Pr [E3|B]\Pr [B]}{\Pr [E3]} \), y sabemos que

\( \displaystyle{
\Pr [E3]=\Pr [E3|B]\Pr [B]+\Pr [E3|B^\complement ]\Pr [B^\complement ]=\Pr [E3|B]\Pr [B]+\Pr [E3|B^\complement ](1-\Pr [B])
} \)

Como se emborracha sólo dos días a la semana podemos asumir que \( \Pr [B]=2/7 \). Ahora bien, con memoria tenemos que

\( \displaystyle{
\Pr [E3|B^\complement ]=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac1{3}=\frac1{5}
} \)

y sin memoria que

\( \displaystyle{
\Pr [E3|B]=\left(\frac4{5}\right)^2\cdot \frac1{5}=\frac{16}{5^3}
} \)

Por tanto

\( \displaystyle{
\Pr [B|E3]=\frac{\frac{16}{5^3}\cdot \frac{2}{7}}{\frac{16}{5^3}\cdot \frac{2}{7}+\frac1{5}\cdot \frac{5}{7}}=\frac{32}{32+125}=\frac{32}{157}\approx 0,2038
} \)

13
Análisis Matemático / Re: Límites de sucesiones
« en: 18 Junio, 2021, 05:15 am »
Por qué no podría tomar $$a_n\geq a_{m_n}$$?

Si ocurre que \( a_n\leqslant a_{m_n} \) para todo \( n \) entonces tienes que \( b_n\leqslant c_n \) para todo \( n \), y por tanto \( b^*_n\leqslant c^*_n \) para todo \( n \), y tomando límites en la última desigualdad obtienes la demostración que querías. Sin embargo si pudieses tomar \( a_n\geqslant a_{m_n} \) entonces tendrías que el límite de \( \{a_n\}_{n\in \mathbb N} \) existe (ya que el límite superior es el mayor punto de acumulación del conjunto definido por los valores de la sucesión) y simplemente demostrarías la igualdad \( \limsup_{n\to\infty}b_n=\limsup_{n\to\infty}a_n \), sin embargo el límite de \( \{a_n\}_{n\in \mathbb N} \) no tiene por qué existir, así que en general no puedes tomar la desigualdad \( a_n\geqslant a_{m_n} \).

Es decir, te queda demostrar que siempre puedes tomar \( a_n\leqslant a_{m_n} \), para ello necesitarás utilizar la definición de límite superior y construir una sucesión \( a_{m_n} \) que converja al límite superior y que cumpla la anterior desigualdad, para ello te serán útiles los valores \( a^*_n \) (que te aviso de antemano que no tienen por qué pertenecer a la sucesión).

14
Análisis Matemático / Re: Límites de sucesiones
« en: 18 Junio, 2021, 04:23 am »
como la sucesión es acotada entonces la subsucesión converge a un $$L$$, entonces por definición de límite para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( N>0 \) tal que:

\(  n>N\quad \Rightarrow{}\quad |x_{m_n}-L|<\epsilon \)

 Ahora para \( n>N \):

\(  |\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^n{}x_{m_n}-L|=\dfrac{1}{n}|\displaystyle\sum_{m=1}^n{}(x_{m_n}-L)|=\dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^{N-1}{}(x_{m_n}-L)+\displaystyle\sum_{m=N}^n{}(x_{m_n}-L)|\leq \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_j-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \)

He logrado llegar aquí, no sé si este bien el proceso. De estar bien, creo que lo siguiente sería llegar a que \( \dfrac{1}{n}|(\displaystyle\sum_{m=1}^N{}(x_j-L)|+\dfrac{n-N+1}{n}\epsilon \) sea menor o igual a $$\epsilon$$ lo que aún no veo claro.
 

Este hilo reciente te ayudará en eso:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117060.msg468921

15
He intentado seguir la explicación, pero hay una cosa que no comprendo, entiendo que todo el ejercicio se reduce a probar que

 
\( \displaystyle{
\int_{(0,1)\times (0,1)}\frac{|x-y|}{x+y}\mathop{}\!d (x,y)=\infty \implies \int_{(0,1)\times (0,1)}\frac{|x-y|}{(x+y)^3}\mathop{}\!d (x,y)=\infty
} \)
,

sin embargo he intentado calcular la primera integral varias veces y al sustituir los valores me da una indeterminacion. Tienes alguna idea para ver que la primera integral es divergente?

Tenemos que

\( \displaystyle{
\int_{(0,1)\times (0,1)}\frac{|x-y|}{x+y}\mathop{}\!d (x,y)=2\int_{(0,1)\times (0,1)}\mathbf{1}_{[0,\infty )}(x-y)\frac{|x-y|}{x+y}\mathop{}\!d (x,y)=2\int_{(0,1)}\int_{(0,x]}\frac{x-y}{x+y}\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x\\
=2\int_{(0,1)}\int_{(0,x]}\left(\frac{2x}{x+y}-1\right)\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x=2\int_{(0,1)}\left(2x\log 2-x\right)\mathop{}\!d x=2(2\log 2-1)\int_{(0,1)}x\mathop{}\!d x=2\log 2-1
} \)

Por tanto no nos sirve para demostrar que la integral original diverge. Hay que probar con otra cosa, por ejemplo usando la simplificación del segundo camino en la integral original tenemos que

\( \displaystyle{
\int_{(0,1)\times (0,1)}\mathbf{1}_{[0,\infty )}(x-y)\frac{x-y}{(x+y)^3}\mathop{}\!d (x,y)=\int_{(0,1)}\int_{(0,x]}\left(\frac{2x}{(x+y)^3}-\frac{1}{(x+y)^2}\right)\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x
=\frac1{4}\int_{(0,1)}\frac1{x}\mathop{}\!d x=\infty
} \)

Corrección: originalmente la primera integral estaba mal calculada.

16
Buenos dias, he estado pensando mucho este ejercicio, pero en el apartado 1) no veo porque la familia contiene a los subconjuntos abiertos de \(  R^p \) y me estoy haciendo un lio al repecto, y el apartado 2) no veo claro que \(  E \)  sea medible Lebesgue en \(  R^2 \) pero no sea boreliano.

Para el 1) observa que la familia definida como \( \mathcal{F}:=\{A\subset \mathbb{R}^d: {\color{red}{(\forall y\in \mathbb{R}^q)}}A_y\in\mathcal{B}_p \} \) (siendo \( \mathcal{B}_p \) el \( \sigma  \)-álgebra de Borel en \( \mathbb{R}^p \)) contiene todas las bolas de \( \mathbb{R}^d \), ya que cualquier sección de una bola abierta en \( \mathbb{R}^d \) es un conjunto abierto en \( \mathbb{R}^p \) (y por tanto boreliano), ya que

\( \displaystyle{
\mathbb{B}((x_0,y_0),r)_y=\{x\in \mathbb{R}^p:\|(x-x_0,{\color{red}{y-}}y_0)\|_2<r\}
} \)

y la función \( x\mapsto \|(x-x_0,{\color{red}{y-}}y_0)\|_2 \) es continua para cualquier \( y\in \mathbb{R}^q \) que elijamos. De ahí se deduce que todos los abiertos están contenidos en \( \mathcal{F} \), ya que la sección de una unión es la unión de las secciones, como se puede deducir de la definición de sección (es decir, de la definición de \( A_y \) para un conjunto dado \( A \) y un \( y\in \mathbb{R}^q \) arbitrario).

Para el 2) puedes utilizar la definición de medida exterior de Lebesgue en \( \mathbb{R}^2 \) para comprobar que la medida exterior de \( V\times \{0\} \) es cero. Como la \( \sigma  \)-álgebra de Lebesgue es completa entonces \( V\times \{0\} \) pertenece a tal \( \sigma  \)-álgebra, es decir, es medible. Sin embargo la sección \( (V\times \{0\})_{0}=V \) no pertenece a la \( \sigma  \)-álgebra de Lebesgue en \( \mathbb{R} \) (por lo que tampoco es boreliano), por tanto de 1) tienes que \( V\times \{0\} \) no puede ser boreliano.

Corrección.

17
Si \( w \in V \) y \( \{v_1,...,v_n\} \subset{} V \) es un sistema libre (resp.: generador; base)

¿Es \( \{v_1 + w,..., v_n+w \} \) libre (resp.: generador; base)?

_________

Buen día, ¿alguna forma corta de demostrar esto? :banghead: gracias de antemano.

Saludos!

Una pista, ¿qué pasa si \( w=-v_1 \)?

18
Análisis Matemático / Re: Infimos y supremos sucesiones
« en: 18 Junio, 2021, 03:17 am »
Estimado, la verdad no tiene un significado más allá de definir cual es el infimo y el supremo en este ejercicio. Un saludo!

¿Ínfimo y supremo de qué cosa exactamente? ¿De la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \)?

19
Buenos días, tengo una duda que creo que es de sencilla respuesta sobre integración Lebesgue pero no estoy muy seguro,

Si \( f(x,y)  \) es una función que al hacer la integral iterada \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}f(x,y) dxdy \) me sale un valor real y por tanto converge, puedo decir entonces directamente que \( f(x,y)  \) es integrable Lebesgue?
No, no puedes, excepto si \( f \) es una función no negativa. Un par de contraejemplos son las funciones \( f,g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \) dadas por:

\( \displaystyle{
f(x,y):=\begin{cases}
\frac{xy}{(x^2+y^2)^2},&\text{ si }(x,y)\neq (0,0)\\
0,& \text{ si }(x,y)=(0,0)
\end{cases}\\
g(x,y):= \begin{cases}
\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&\text{ si }(x,y)\in (0,1]\times [0,1]\\
0,&\text{ en otro caso }
\end{cases}
} \)

Para \( f \) tenemos que las integrales iteradas tienen el mismo valor (cero), sin embargo \( f \) no es Lebesgue integrable ya que \( \int |f(x,y)|\mathop{}\!d (x,y)=\infty  \). En \( g \) simplemente las integrales iteradas \( \iint g(x,y)\mathop{}\!d x\mathop{}\!d y \) y \( \iint g(x,y)\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x \) tienen valores opuestos \( \pm\pi/4 \) (y por tanto podemos deducir que \( \int |g(x,y)|\mathop{}\!d (x,y)=\infty  \)).

20
Cálculo 1 variable / Re: $$\int \sqrt{x^2-1}\ dx$$
« en: 17 Junio, 2021, 11:49 pm »
Tenemos: \( I=\displaystyle\int_{}^{}\sqrt[ ]{x^2-1}\,dx \)
Hacemos \( x=\sec\left(\theta\right) \)   \( dx=\sec\left(\theta\right)\,\tan\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

\( \displaystyle{
I=\int\sqrt{\sec^2(\theta)-1}\,\sec(\theta)\,\tan(\theta)\,d(\theta)\color{red}{\;=\int\sec(\theta)\,\tan^2(\theta)\,d(\theta)}
} \)

Lo marcado en rojo no está bien, ya que en verdad \( \sqrt{(\sec\theta )^2-1}=\sqrt{(\tan\theta)^2 }=|\tan\theta | \), por tanto quedaría


\( \displaystyle{
I=\int \operatorname{sign}(\tan\theta )(\tan\theta)^2 \sec\theta \mathop{}\!d \theta
} \)

Además hay que tener en cuenta que la sustitución \( x=\sec \theta  \) representa un difeomorfismo como \( \mathbb{R}\setminus (-1,1)\to [-\pi,0]\setminus \{-\pi/2\} \), es decir que \( \theta  \) sólo puede tomar valores en \( [-\pi,0]\setminus \{-\pi/2\} \) (u otro intervalo equivalente de la forma \( [2k\pi-\pi,2k\pi]\setminus \{-\pi/2+2k\pi\} \) para un \( k\in \mathbb{Z} \) cualquiera, por simplicidad es natural asumir \( k=0 \) lo que nos deja el difeomorfismo mencionado).

Por estas cosas las integrales indefinidas no me gustan nada de nada, porque prestan a confusión y si no se tiene cuidado se pueden llegar a muchos resultados que son falsos, es decir, donde la función que hallamos al integrar no es una primitiva del integrando.

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