Hola, creo que en tu último mensaje te has liado un poco.
¿Quién es \( H \)? ¿\( A \) o \( \langle A\rangle \)? Si tomo \( H=A \) entonces no sé cómo tomar un elemento de \( H \), es decir \( h \) 
.
Primero el subgrupo del que queremos averiguar si es normal o no es:
\( \left<{A}\right>=\{A,A^2,A^3,A^4\}=\{I,A,A^2,A^3\} \).
Le puedes llamar \( H \) si quieres, pero entonces deberías escribir \( H=\left<{A}\right> \).
Éste es un subgrupo del grupo de las matrices
regulares o invertibles de orden 2 con coeficientes racionales, llamémosle \( G \), como en el enunciado. Es necesario decir lo de regulares o invertibles, porque sinó no todos los elementos tendrían inverso y el conjunto no sería un grupo.
\( h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in A,\quad g=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q),\quad g'={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q). \)
Según has definido \( g \), ésta no es regular, es decir, no tiene inversa, es decir, lo que has llamado \( g' \) no es su inversa.
\( h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in A \). Se sabe que un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo, \( A\in A \) es falso...
Cierto, eso no está bien escrito, si quieres puedes hacerlo así:
\( h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in \left<{A}\right> \)
Otro error es que, siguiendo el libro de Fernando, el elemento neutro debe pertenecer al subgrupo (que aun no sabemos si es normal o no), pero yo estoy forzando que sea el subgrupo que genera generado por \( A \), es decir \( \langle A\rangle \) y no \( A \). Esto es otro error mío.
No te he entendido muy bien aquí, pero el elemento neutro de \( H=\left<{A}\right> \), es la indentidad de orden dos, que coincide con \( A^4 \).
Por otra parte escribo la justificación del ejercicio 2) para tenerlo en limpio:
2) Analice si el subgrupo generado por la matriz \( A \) es isomorfo a \( (\mathbb Z_4,\overline +) \).
Respuesta:
En primer lugar el grupo es cíclico pues
el grupo en cuestión es:
\( \{A,A^2,A^3,A^4\} \)
Es cíclico y generado por A, entonces, considerando sin pérdida de generalidad que \( m\geq{n} \)
\( A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m \)
¿Es correcta la cadena de justificaciones?
Saludos
EDIT: sé que cité las mismas palabras de martiniano y que por ende comparto 
, pero lo quiero repreguntar porque en el libro que tengo el cual estoy estudiando hay una propiedad que dice (escrita tal cual):
Propiedad:
Para todo grupo \( G \) cíclico finito existe algún \( n\in\mathbb N \) de modo que \( G \) es isomorfo a \( \mathbb Z_n \).
A mí parecer difiere un poco con lo escrito por martiniano, porque esta propiedad impone que el grupo sea finito, y "las matrices de orden...", o sea el grupo \( GM_2(Q) \), no es finito (¡hay infinitos elementos!). Entonces, me gustaría saber si esta propiedad NO se aplica en este ejercicio y por ende sigo aceptando la respuesta de martiniano. Gracias.
Sí claro, difiere, difiere... Yo lo que pretendía quí era demostrarte que todo grupo cíclico es abeliano. Por otra parte, como bien dice la propiedad que citas de tu libro, todo grupo cíclico de orden \( n \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}_n \), resultado del que se desprende inmediatamente la respuesta a tu ejercicio si la aplicas a \( H \), no a \( G \).
Saludos.
