Hola,
Supongo que: \( x^3+y^3+z^3=0 \) ; para \( x,y,z \) enteros usuales, coprimos 2 a 2 y uno de ellos par.
Sabemos que \( 3 \) , que es un primo de Sophie Germain, debe dividir a una de estas varibles (\( x,y,z \)) . Supongamos que \( z^3 \) no es múltiplo de 3. Entonces: \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y) \) , para \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2} \) . Y : " \( x+\omega y \) " , por ejemplo, será un cubo en \( \mathbb{Z}[\omega] \) tal que: \( \epsilon(p+\omega q)^3=x+\omega y \) ; para \( \epsilon \) una "unidad" -y- \( p,q \) enteros y coprimos. Las unidades en \( \mathbb{Z}[\omega] \) son: \( \pm 1 \) , \( \pm\omega \) \( \wedge \) \( \pm\omega^2 \) .
Lema 1: Dado: \( x^3+y^3+z^3=0 \) , para \( x,y,z \) enteros. \( 3 \) solamente divide a la variable que es par.
Demostración:
Caso 1. Las unidades son: \( \pm 1 \) .
\( \pmb{x+\omega y}=\pm\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3+(3p^2q-3pq^2)\omega-3pq^2)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) \( \Rightarrow \) \( x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \) \( \wedge \) \( y=\pm\,(3pq (p-q)) \) .
Caso 2. Las unidades son: \( \pm\omega \) .
\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) . Si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre \( \omega \) . Tendré: \( x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) \( \Rightarrow \) \( y-x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \) \( \wedge \) \( -x=\pm\,(3pq(p-q)) \) .
Caso 3: Las unidades son: \( \pm\omega^2 \) .
\( \pmb{x+\omega y}=\pm\omega^2\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) . Y si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre \( \omega^2 \) . Tendré: \( x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega) \) \( \Rightarrow \) \( -y=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2) \) \( \wedge \) \( x-y=\pm\,(3pq(p-q)) \) .
En el
Caso 1, " \( 3 \) " divide á " \( y \) " -y- " \( y \) " es par puesto que \( p \) ó \( q \) debe ser par; o si son los dos impares, es par: \( p-q \) .
En el
Caso 2, " \( 3 \) " divide á " \( x \) " -y- " \( x \) " es par puesto que \( p \) ó \( q \) debe ser par; o si son los dos impares, es par: \( p-q \) .
El
Caso 3 no podría darse. Pues si \( x-y \) es múltiplo de 2 y 3, significa que no lo son ni " \( x \) " , ni " \( y \) " -y- tampoco " \( z \) " ; puesto que no podría serlo: \( x+y \) .
Partamos ahora de: \( -z^3=x^3+y^3 \) . Y supongamos, sin perder generalidad, que la variable par es " \( x \) " . Entonces \( 27 \) , como mínimo, debe dividir á \( x^3 \) .
Como: \( x+y=2s \) \( \wedge \) \( x-y=2t \) ; pues \( x\,\wedge\,y \) son impares. Y : \( x+y \) \( \wedge \) \( x-y \) son coprimos salvo por " \( 2 \) " ; entonces: \( s=\dfrac{x+y}{2} \) \( \wedge \) \( t=\dfrac{x-y}{2} \) serán coprimos; siendo además una de las dos: \( s\,\vee\,t \) , divisible entre 2. Pues si \( 2s\,\vee\,2t \) es congruente con 2 Módulo 4, el otro será congruente con 0 Módulo 4. Si despejo " \( x \) " e " \( y \) " , tendré que: \( x=s+t \) \( \wedge \) \( y=s-t \) . Y de esta manera: \( -z^3=(s+t)^3+(s-t)^3 \) \( \Rightarrow \) \( -z^3=2s(s^2+3t^2) \) .
Como \( 3 \) no divide á " \( s \) " entonces " \( 2s \) " \( \wedge \) " \( s^2+3t^2 \) " serán coprimos y terceras potencias. De esta manera: \( s^2+3t^2=(s+\sqrt{-3}t)(s-\sqrt{-3}t) \) . Y si sumo: \( s+\sqrt{-3}t\,\pmb{+}\,s-\sqrt{-3}t=2s \) ; -y- resto: \( s+\sqrt{-3}t\,\pmb{-}\,s+\sqrt{-3}t=2\sqrt{-3} \) . Nos damos cuenta que " \( 2s \) " \( \wedge \) " \( 2\sqrt{-3} \) " son coprimos en \( \mathbb{Z}[\omega] \) salvo por \( 2 \) ; que es un primo en este anillo especial de enteros. Pero " \( 4 \) " no divide á \( s^2+3t^2 \) , que es impar. Luego este factor no lo tienen -y- " \( s+\sqrt{-3}t \) " \( \wedge \) " \( s-\sqrt{-3}t \) " serán coprimos y terceras potencias en \( \mathbb{Z}[\omega] \) . Como " \( 3 \) " en este anillo es: \( -\omega^2\lambda^2 \) , para: \( ”\lambda"=\omega-1 \) -y- éste último es primo en \( \mathbb{Z}[\omega] \) . Entonces tendré que: \( s+\sqrt{-3}t=s+\omega\lambda t \) \( \wedge \) \( s-\sqrt{-3}t=s-\omega\lambda t \) . Esto es, tendremos: \( s+\omega\lambda t+s-\omega\lambda t=2s \) \( \wedge \) \( "s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0 \) . Donde: " \( s+\omega\lambda t \) " , " \( s-\omega\lambda t \) " \( \wedge \) " \( -2s \) " son cubos perfectos, como hemos visto, en \( \mathbb{Z}[\omega] \) .
Lema 2: Si " \( \lambda \) " no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto; entonces es congruente con \( \pm 1 \) Módulo 9 .
Demostración:
Me basaré en cómo lo hace Carlos Ivorra
aquí.
Supongamos que \( \lambda \) no divide a un entero de Eisenstein de la forma \( a+\omega b \) , para \( a,b \) enteros. Módulo 3, será el resultado de reducir \( a,b \) módulo 3. Y tendré: \( 1+\omega \) , \( -1-\omega \) , \( 1-\omega \) , \( -1+\omega \) , \( \pm 1 \) , \( \pm\omega \) \( \wedge \) \( 0 \) . Como hemos dicho que \( \lambda \) no divide á \( a+\omega b \) , no será congruente con: \( 1-\omega \) , \( -1+\omega \) \( \wedge \) \( 0 \) . Y lo que me queda ya entonces son "unidades", pues: \( 1+\omega=-\omega^2 \) \( \wedge \) \( -1-\omega=\omega^2 \) . Luego tenemos que: \( a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,3 \) . Pero esto es lo mismo que decir que: \( a+\omega b-\epsilon=3\alpha \) , para \( \alpha \) un entero de Eisenstein. Por lo tanto: \( a+\omega b=3\alpha+\epsilon \) \( \wedge \) \( (a+\omega b)^3=(3\alpha+\epsilon)^3\,=\,27\alpha^3+27\alpha^2\epsilon+9\alpha\epsilon^2+\epsilon^3 \) . Por lo que: \( (a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,9 \) \( \wedge \) " \( \epsilon^3 \) " es siempre igual á \( \pm 1 \) , sea cuál sea la unidad de \( \mathbb{Z}[\omega] \) .
Pero como " \( \lambda \) " no divide á " \( s+\omega\lambda t \) " ni á " \( s-\omega\lambda t \) " ni á " \( 2s \) " ; puesto que " \( 3 \) " no divide á " \( s \) “ y todos son terceras potencias. Entonces tendremos que, Módulo 9: \( "s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0 \) \( \Rightarrow \) \( \pm 1\pm 1\pm 1\not\equiv\,0\,\,mod\,9 \) . Lo que es una contradicción.
Un saludo,
