Aunque la respuesta de delmar estaría bien,
no estoy de acuerdo en plantear así la solución,
ya que me parece que hay una intención oculta en el enunciado,
y es que no se usen las propiedades de los números reales.
De hecho, con los racionales la prueba de la Propiedad Arquimediana es más directa,
usando pura aritmética.
Así, centrándonos en el caso \(y>0\):
Sean \(x,y\in \mathbb Q^+\).
Existen \(a,b,c,d\in\mathbb Z^+\) tales que \(x=\dfrac ab\), \(y=\dfrac cd\).
Ahora el objetivo es encontrar un entero positivo \(n\) tal que \(x\cdot n > y\).
Eso se puede lograr de varias maneras, inclusive se pueden buscar valores ajustados de \(n\).
En mi caso, haré un planteo a palos de ciego, usando mera aritmética.
Observo que, por tratarse de meros enteros positivos, vale que:
\( c \geq \dfrac cd = y\).
Es una estimación muy gruesa, pero no importa.
También observo que:
\(x\cdot b = \dfrac ab \cdot b = a\).
Si yo quiero que \(a\) le gane a \(c\),
como \(a\geq 1\), bastaría multiplicar por \(c\).
Así que, tenemos:
\(a \cdot c \geq c \geq y\).
Quiero obtener algo que sea estrictamente mayor que \(y\).
En ese caso, multiplicamos por algo más grande que \(c\).
Y entonces, basta elegir \(n=b\cdot c + 1\).
Obtenemos:
\[x\cdot n = \dfrac ab\cdot n =\dfrac ab\cdot (bc+1)
=\dfrac{abc}b+\dfrac ab=ac +\dfrac ab>ac\geq c\geq \dfrac cd=y.
\]
Por lo tanto: \(x\cdot n> y\).
