Autor Tema: Función (en un intervalo) acotada y medible, ¿es integrable Lebesgue?

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05 Octubre, 2013, 06:34 pm
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jbgg

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¿Alguien sabría contestarme si la pregunta que he formulado ¿toda función definida en un intervalo [a,b] acotada y medible es integrable Lebesgue? tiene respuesta afirmativa o negativa?

Ante todo, muchas gracias.

05 Octubre, 2013, 09:03 pm
Respuesta #1

Tanius

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Dada una función \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) Lebesgue-medible y no negativa, \( f \) es Lebesgue-integrable si el conjunto de números reales \( \displaystyle\int_{[a,b]}s \) es acotado superiormente, donde \( 0\le s\le f \) y \( s \) es una función simple y medible.

Es fácil notar que si \( f \) es Lebesgue medible, no negativa y acotada superiormente, entonces dicho conjunto es acotado superiormente.

Finalmente, si \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) es medible (y no necesariamente no negativa), entonces \( f \) es Lebesgue-integrable si las funciones \( f^+(x):=\max\{f(x),0\} \) y \( f^-(x):=\max\{-f(x),0\} \), que son no negativas, son Lebesgue-integrables. Pero si \( f \) es además acotada, resulta que estas dos funciones también lo son.

05 Octubre, 2013, 09:39 pm
Respuesta #2

jbgg

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Dada una función \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) Lebesgue-medible y no negativa, \( f \) es Lebesgue-integrable si el conjunto de números reales \( \displaystyle\int_{[a,b]}s \) es acotado superiormente, donde \( 0\le s\le f \) y \( s \) es una función simple y medible.
Editado

¿porque ¿Por qué la definición es el supremo de esos valores?

08 Octubre, 2013, 11:00 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Dada una función \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) Lebesgue-medible y no negativa, \( f \) es Lebesgue-integrable si el conjunto de números reales \( \displaystyle\int_{[a,b]}s \) es acotado superiormente, donde \( 0\le s\le f \) y \( s \) es una función simple y medible.

¿porque la definición es el supremo de esos valores?

No entiendo del todo en que sentido haces la pregunta. ¿No conocías esa definición de intregral de Lebesgue?¿Te han dado otra? ¿O la conoces pero te gustaría saber que ideas la motivan?.

Saludos.

08 Octubre, 2013, 01:58 pm
Respuesta #4

jbgg

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Porque no tenía acceso a mis apuntes de integración, por eso pregunté cual era la definición. Hace unos años que la vi. Ya he conseguido ver la definición (lo he buscado por google). Exactamente es el supremo.

Gracias.