Autor Tema: Continuidad

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02 Junio, 2011, 12:01 pm
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Freddy

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Hola, necesito ayuda para porbar que esta funcion es continua en (0,0)

Sea \( f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} \) dada por: \( f(x,y)=\begin{Bmatrix}\frac{{ x\left |{y}\right |}}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}&\mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)={(0,0)}\end{matrix} \)

Gracias!!!...

Saludos

02 Junio, 2011, 12:50 pm
Respuesta #1

Freddy

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Yo pensé en algo así, si alguien puede decirme si esta bien o no.

Sea \( \epsilon>0 \) dado, como \( |f(x,y)-(0,0)|=|\frac{x|y|}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}|\leq{|x|} \) esto es porque \( |y|\leq{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}\Rightarrow \frac{|y|}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}\leq{1} \)

Así, \( |f(x,y)-(0,0)|=|\frac{x|y|}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}|\leq{|x|}\leq \)máx\( \{|x|,|y|\}=\|(x,y)\|_{sup} \)

Ahora bien, \( |f(x,y)-(0,0)|<\epsilon \) si tomamos \( (x,y) \) tal qué \( \|(x,y)\|_{sup}\leq{\epsilon} \) es decir; sí elegímos \( \delta\leq{\epsilon} \).

Por tanto se tiene que:

\( \forall{\epsilon}>0, \exists{\delta}>0 \) tal que \( \|(x,y)-(0,0)\|_{sup}<\delta\Rightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon \)

Por lo tanto, f es continua en (0,0).

03 Junio, 2011, 02:34 am
Respuesta #2

Héctor Manuel

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Bueno.  Aparentemente has intentado probar tu resultado con otra norma diferente de la usual en el plano.  Pero como todas las normas son topológicamente iguales, entonces tu demostración es correcta.

Nota que por otra parte también puedes concluir del hecho de que \( 0\le|f(x,y)-(0,0)|=|\frac{x|y|}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}}|\leq{|x|} \), y la función \( g(x,y)=|x| \) es continua (es decir, puedes concluir usando el teorema de compresión).

Saludos.

03 Junio, 2011, 02:52 am
Respuesta #3

Freddy

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Hola hector manuel

Ok gracias, no lo habia pensado por ahí pero tambien lo intentare.

Saludos!!!...