Autor Tema: Calcular el límite

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22 Abril, 2021, 10:40 pm
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Dark

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$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(3^n+4^n\right)^{\frac{2}{n}}$$

He intentado calcular este limite por varios caminos pero no logro quitar la indeterminación.

23 Abril, 2021, 12:29 am
Respuesta #1

robinlambada

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$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(3^n+4^n\right)^{\frac{2}{n}}$$

He intentado calcular este limite por varios caminos pero no logro quitar la indeterminación.
¿Puedes utilizar L'Hôpital?
Entonces:

\( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(3^n+4^n\right)^{\frac{2}{n}}=e^{\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} ln \left(3^n+4^n\right)} \)

Por  L'Hôpital \( \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} ln \left(3^n+4^n\right)=\lim_{n \to \infty} \frac{2\left( 3^nln 3+ 4^nln 4\right)}{3^n+4^n} =\lim_{n \to \infty} \frac{2\left( \displaystyle\frac{3^n}{4^n}ln 3+ ln 4\right)}{\displaystyle\frac{3^n}{4^n}+1}= \lim_{n \to \infty} \frac{2\left( \cancelto{0}{\displaystyle\frac{3^n}{4^n}}ln 3+ ln 4\right)}{\cancelto{0}{\displaystyle\frac{3^n}{4^n}}+1}=2\ln4 \)

El límite pedido es \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{f(n)}=e^{2\ln 4}=16 \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

23 Abril, 2021, 12:43 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(3^n+4^n\right)^{\frac{2}{n}}$$

Otra forma,

        \( \left(3^n+4^n\right)^{2/n}=\left[4^n\left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right)\right]^{2/n}=4^2\left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right]^{2/n}\underbrace{\to}_{n\to +\infty} 16 (0+1)^0=16\cdot 1=16. \)

23 Abril, 2021, 01:12 am
Respuesta #3

Dark

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Me imagino que $$(\frac{3}{4})^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero. Es por alguna propiedad. Creo que la he visto antes, y diría como que si $$-1<b<1$$ entonces el límite de $$b^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero.

23 Abril, 2021, 01:15 am
Respuesta #4

robinlambada

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$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(3^n+4^n\right)^{\frac{2}{n}}$$

Otra forma,

        \( \left(3^n+4^n\right)^{2/n}=\left[4^n\left(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right)\right]^{2/n}=4^2\left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right]^{2/n}\underbrace{\to}_{n\to +\infty} 16 (0+1)^0=16\cdot 1=16. \)

Mucho más sencillo, la verdad es que lo vi también así, pero no estaba seguro de si era  riguroso tender a cero la exponencial dentro del binomio, pues esta afectado de otro exponente  y al desarrollar el binomio \( \left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right]^{2/n} \) el exponente \( \displaystyle\frac{n\cdot{2}}{n} \) pudiera generar dudas.( no se si me explicado bien). En todo caso nos da el mismo resultado.

Saludos.
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23 Abril, 2021, 01:18 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

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Me imagino que $$(\frac{3}{4})^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero. Es por alguna propiedad. Creo que la he visto antes, y diría como que si $$-1<b<1$$ entonces el límite de $$b^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero.

Así es. Puedes ver la demostración en https://fernandorevilla.es/2014/02/03/limite-de-una-sucesion/ (apartado 6).

23 Abril, 2021, 01:21 am
Respuesta #6

robinlambada

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Me imagino que $$(\frac{3}{4})^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero. Es por alguna propiedad. Creo que la he visto antes, y diría como que si $$-1<b<1$$ entonces el límite de $$b^n$$ cuando $$n$$ tiende a infinito es cero.
Correcto, un ejemplo sencillo la serie geométrica \( a_n=\left({\displaystyle\frac{1}{2}}\right)^n \)  tenemos. \( \dfrac 12 ,\dfrac 14,\dfrac 18, \dfrac 1{16}, \dfrac 1{32} \ldots \), el término siguiente siempre es la mitad del anterior, es una sucesión decreciente positiva acotata inferiormente por el 0.

Saludos.
P.D.: Se me adelanto Fernando.
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23 Abril, 2021, 01:28 am
Respuesta #7

Fernando Revilla

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Mucho más sencillo, la verdad es que lo vi también así, pero no estaba seguro de si era  riguroso tender a cero la exponencial dentro del binomio, pues esta afectado de otro exponente  y al desarrollar el binomio \( \left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right]^{2/n} \) el exponente \( \displaystyle\frac{n\cdot{2}}{n} \) pudiera generar dudas.( no se si me explicado bien). En todo caso nos da el mismo resultado.

Si es riguroso. Ten en cuenta que depués de simplificar y llamando \( a_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1 \) y \( b_n=\dfrac{2}{n} \), simplemente aplicamos la propiedad \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n^{b_n}=\left(\displaystyle\lim_{ n\to{+}\infty}a_n\right)^{\displaystyle\lim_{ n\to{+}\infty}b_n} \).

23 Abril, 2021, 07:52 pm
Respuesta #8

robinlambada

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Mucho más sencillo, la verdad es que lo vi también así, pero no estaba seguro de si era  riguroso tender a cero la exponencial dentro del binomio, pues esta afectado de otro exponente  y al desarrollar el binomio \( \left[\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1\right]^{2/n} \) el exponente \( \displaystyle\frac{n\cdot{2}}{n} \) pudiera generar dudas.( no se si me explicado bien). En todo caso nos da el mismo resultado.

Si es riguroso. Ten en cuenta que depués de simplificar y llamando \( a_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+1 \) y \( b_n=\dfrac{2}{n} \), simplemente aplicamos la propiedad \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n^{b_n}=\left(\displaystyle\lim_{ n\to{+}\infty}a_n\right)^{\displaystyle\lim_{ n\to{+}\infty}b_n} \).
Cierto, muchas gracias.
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