Autor Tema: Proposición sobre dimensión de una variedad afín

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22 Abril, 2021, 03:31 pm
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Eparoh

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Hola a todos, estoy leyendo una demostración en el libro Algebraic Geometry de Daniel Perrin, y no entiendo bien el último paso que hace.



El paso en concreto es el paso inductivo, no entiendo a que se refiere a aplicar la hipótesis de inducción sobre una componente irreducible de \( V(f_1) \) (llamémosla  \( W' \)) que contenga a \( W \), pues \( W \) no tiene porque ser una componente irreducible de este \( W' \).

¿Alguien entiende como es este paso inductivo?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

22 Abril, 2021, 04:01 pm
Respuesta #1

geómetracat

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En el paso inductivo tomas una componente irreducible de \[ V(f_1) \] (digamos \[ V' \]) que contenga a \[ W \] en lugar de \[ V \].

Entonces \[ V' \] es una variedad algebraica afín irreducible de dimensión \[ \geq n-1 \], y  \[ W \] coincide con una componente irreducible de \[ V(f_2,\dots,f_r) \] (donde ahora lo pensamos como el lugar de ceros de \[ f_2,\dots,f_r \] en \[ V' \] y no en \[ V \]). Ahora, por hipótesis de inducción, \[ W \] tiene dimensión \[ \geq (n-1)-(r-1)=n-r \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Abril, 2021, 04:30 pm
Respuesta #2

Eparoh

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En el paso inductivo tomas una componente irreducible de \[ V(f_1) \] (digamos \[ V' \]) que contenga a \[ W \] en lugar de \[ V \].

Entonces \[ V' \] es una variedad algebraica afín irreducible de dimensión \[ \geq n-1 \], y  \[ W \] coincide con una componente irreducible de \[ V(f_2,\dots,f_r) \] (donde ahora lo pensamos como el lugar de ceros de \[ f_2,\dots,f_r \] en \[ V' \] y no en \[ V \]). Ahora, por hipótesis de inducción, \[ W \] tiene dimensión \[ \geq (n-1)-(r-1)=n-r \].

Muchas gracias, no me quedaba del todo claro donde encajar \( W \) como componente irreducible, pero con lo que has comentado, todo claro ;)