Autor Tema: Ecuación reducida del plano a partir de ecuación parametrizada

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21 Abril, 2021, 10:15 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

(a) Mostrar que si \( u=(u_1,u_2,u_3) \) y \( v=(v_1,v_2,v_3) \) son dos vectores no colineales el sistema de ecuaciones parametrizadas:
f(x)=\begin{cases}{x=p_1 + \lambda u_1 + \mu v_1}\\y=p_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\z=p_3 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}

es compatible si y solo si el determinante:

\( \begin{vmatrix}{x-p_1}&{y-p_2}&{z-p_3}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}=0 \)

(b) Concluir que el plano de ecuaciones paramétricas tiene una ecuación reducida de la forma:

\( \begin{vmatrix}{u_2}&{u_3}\\{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}(x-p_1) - \begin{vmatrix}{u_1}&{u_3}\\{v_1}&{v_3}\end{vmatrix}(y-p_2) + \begin{vmatrix}{u_1}&{u_2}\\{v_1}&{v_2}\end{vmatrix}(z-p_3) = 0 \)

Para la parte (a), logre llegar al determinante en cuestión pasando hacia el otro lado los puntos \( p_1,p_2,p_3 \) luego tomando la matriz del sistema, solo resta transponerla y intercambias 2 filas 2 veces (así que el determinante no cambiara de signo).
Por letra me dicen que los vectores no son colineales así que la única manera de que el determinante sea 0 es si los puntos de la forma \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3) \) son colineales a \( v \) o \( u \).

Aquí es donde me he quedado trancado, no se por donde llevarlo para concluir tanto (a) como (b), cualquier ayuda para lograrlo es bienvenida.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

22 Abril, 2021, 12:04 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola:
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

(a) Mostrar que si \( u=(u_1,u_2,u_3) \) y \( v=(v_1,v_2,v_3) \) son dos vectores no colineales el sistema de ecuaciones parametrizadas:
f(x)=\begin{cases}{x=p_1 + \lambda u_1 + \mu v_1}\\y=p_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\z=p_3 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}

es compatible si y solo si el determinante:


\( \begin{vmatrix}{x-p_1}&{y-p_2}&{z-p_3}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}=0 \)

(b) Concluir que el plano de ecuaciones paramétricas tiene una ecuación reducida de la forma:

\( \begin{vmatrix}{u_2}&{u_3}\\{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}(x-p_1) - \begin{vmatrix}{u_1}&{u_3}\\{v_1}&{v_3}\end{vmatrix}(y-p_2) + \begin{vmatrix}{u_1}&{u_2}\\{v_1}&{v_2}\end{vmatrix}(z-p_3) = 0 \)

Para la parte (a), logre llegar al determinante en cuestión pasando hacia el otro lado los puntos \( p_1,p_2,p_3 \) luego tomando la matriz del sistema, solo resta transponerla y intercambias 2 filas 2 veces (así que el determinante no cambiara de signo).
Por letra me dicen que los vectores no son colineales así que la única manera de que el determinante sea 0 es si los puntos de la forma \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3) \) son colineales a \( v \) o \( u \).

Aquí es donde me he quedado trancado, no se por donde llevarlo para concluir tanto (a) como (b), cualquier ayuda para lograrlo es bienvenida.

Saludos,
Franco.

Si el sistema es compatible, pasando los puntos \( p_i \) restando y sumando las 3 ecuaciones llegamos a una igualdad vectorial.

\( (x-p_1,y-p_2,z-p_3)=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} \) , por tanto el vector que va del punto P a un punto genérico del plano es combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), por ello el determinante dado es cero.

Por otro lado si el determinante es cero y \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) no son colineales, existen para cada \( (x,y,z) \) unos \( \lambda \) y \( \mu \) únicos , tales que \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3)=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} \)  es combinación lineal de los vectores\( \vec{u} \) y \( \vec{v} \)  y por tanto el sistema es compatible.

Por último la ecuación implícita del plano, se obtiene sin más que desarrollar el determinante por la primera fila.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

22 Abril, 2021, 12:19 am
Respuesta #2

franma

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Buenas Robin,

Hola:
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

(a) Mostrar que si \( u=(u_1,u_2,u_3) \) y \( v=(v_1,v_2,v_3) \) son dos vectores no colineales el sistema de ecuaciones parametrizadas:
f(x)=\begin{cases}{x=p_1 + \lambda u_1 + \mu v_1}\\y=p_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\z=p_3 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}

es compatible si y solo si el determinante:


\( \begin{vmatrix}{x-p_1}&{y-p_2}&{z-p_3}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}=0 \)

(b) Concluir que el plano de ecuaciones paramétricas tiene una ecuación reducida de la forma:

\( \begin{vmatrix}{u_2}&{u_3}\\{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}(x-p_1) - \begin{vmatrix}{u_1}&{u_3}\\{v_1}&{v_3}\end{vmatrix}(y-p_2) + \begin{vmatrix}{u_1}&{u_2}\\{v_1}&{v_2}\end{vmatrix}(z-p_3) = 0 \)

Para la parte (a), logre llegar al determinante en cuestión pasando hacia el otro lado los puntos \( p_1,p_2,p_3 \) luego tomando la matriz del sistema, solo resta transponerla y intercambias 2 filas 2 veces (así que el determinante no cambiara de signo).
Por letra me dicen que los vectores no son colineales así que la única manera de que el determinante sea 0 es si los puntos de la forma \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3) \) son colineales a \( v \) o \( u \).

Aquí es donde me he quedado trancado, no se por donde llevarlo para concluir tanto (a) como (b), cualquier ayuda para lograrlo es bienvenida.

Saludos,
Franco.

Si el sistema es compatible, pasando los puntos \( p_i \) restando y sumando las 3 ecuaciones llegamos a una igualdad vectorial.

\( (x-p_1,y-p_2,z-p_3)=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} \) , por tanto el vector que va del punto P a un punto genérico del plano es combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), por ello el determinante dado es cero.

Por otro lado si el determinante es cero y \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) no son colineales, existen para cada \( (x,y,z) \) unos \( \lambda \) y \( \mu \) únicos , tales que \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3)=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} \)  es combinación lineal de los vectores\( \vec{u} \) y \( \vec{v} \)  y por tanto el sistema es compatible.

Por último la ecuación implícita del plano, se obtiene sin más que desarrollar el determinante por la primera fila.

Saludos.

No entendí muy bien la primera parte, lo que no entiendo es como lo que dices prueba que el sistema es compatible si solo si el determinante es cero.
Y en respecto a la parte (b) entiendo que ese es el desarrollo del determinante por la primera fila pero... como se que esa es su ecuación de forma reducida?

Saludos,
Franco
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22 Abril, 2021, 09:05 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

No entendí muy bien la primera parte, lo que no entiendo es como lo que dices prueba que el sistema es compatible si solo si el determinante es cero.

Lo que dice es que el sistema es compatible, es decir, tiene solución, si y sólo existen \( \lambda,\mu \) verificando las ecuaciones, que pueden escribirse como:

\( (x-p_1,y-p_2,z-p_3)=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} \)

Esto equivale a que el vector \( (x-p_1,y-p_2,z-p_3) \) es combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) y por tanto del determinante que forma sus coordenadas es nulo.

Aquí estamos usando el resultado conocido que dice que tres vectores del espacio son independientes si y sólo si el determinante de la matriz que forman sus coordenadas es no nulo.

Otra forma de verlo es tener en cuenta que en el sistema dado la matriz del sistema es \( 3\times 2 \) y como máximo tiene rango \( 2 \); la ampliada es \( 3\times 3 \) y podría tener rango \( 3 \). Por teoría de sistemas para que sea compatible ambos rangos tienen que coincidir; por tanto la matriz ampliada no puede tener rango tres y así su determinante ha de ser nulo.

Citar
Y en respecto a la parte (b) entiendo que ese es el desarrollo del determinante por la primera fila pero... como se que esa es su ecuación de forma reducida?

La ecuación reducida es una ecuación de la forma \( ax+by+cz+d=0 \).

Una vez simplifcada ese será el aspecto que tendrá esta ecuación:

\( \begin{vmatrix}{u_2}&{u_3}\\{v_2}&{v_3}\end{vmatrix}(x-p_1) - \begin{vmatrix}{u_1}&{u_3}\\{v_1}&{v_3}\end{vmatrix}(y-p_2) + \begin{vmatrix}{u_1}&{u_2}\\{v_1}&{v_2}\end{vmatrix}(z-p_3) = 0 \)

Saludos.

22 Abril, 2021, 12:27 pm
Respuesta #4

franma

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Me ha quedado mucho mas claro!

Gracias a ambos,
Saludos,
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En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.