Autor Tema: Ecuación del plano a partir de punto y recta.

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21 Abril, 2021, 09:02 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Encontrar la ecuación paramétrica y reducida del plano que pasa por el punto \( A=(1,1,1) \) y contiene a la recta:
\( r:=\begin{cases}{x+y+z+2=0}&\\x-y-z-2=0 &\end{cases} \)

He intentado conseguir la paramétrica de la recta pero no lo logro, no se si es que mi método no es correcto o en que estoy fallando  :banghead:.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

21 Abril, 2021, 09:29 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

A ver, planteamos la matriz aumentada

\[ \left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{1}&{-1}&-1&2\end{array}\right] \]

Operando sus renglones obtenemos

\[ \left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{1}&{-1}&-1&2\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{0}&{-2}&-2&4\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{0}&0&0\\{0}&{1}&1&-2\end{array}\right] \]

si z=t   entonces  y=-2-t    x=0

Luego la recta \[ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(0,-1,1) \]


Revisa


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

21 Abril, 2021, 09:31 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Encontrar la ecuación paramétrica y reducida del plano que pasa por el punto \( A=(1,1,1) \) y contiene a la recta:
\( r:=\begin{cases}{x+y+z+2=0}&\\x-y-z-2=0 &\end{cases} \)

He intentado conseguir la paramétrica de la recta pero no lo logro, no se si es que mi método no es correcto o en que estoy fallando  :banghead:.

Saludos,
Franco.

Otra forma de verlo. Piensa que la recta es una colección de puntos en \( \mathbb{R}^3 \) (en este caso), y tú estás buscando una función \( f:A\to \mathbb{R}^3 \) tal que su imagen sea la recta, para algún conjunto \( A \). Como la recta es un objeto unidimensional se puede tomar \( A=\mathbb{R} \), ya que \( \mathbb{R} \) tiene una sola dimensión.

Una recta siempre se puede parametrizar tomando como parámetro una de sus coordenadas en \( \mathbb{R}^3 \) y a partir de esa coordenada poner en función las otras. Prueba tomando como parámetro \( t=x \) e intenta poner las coordenadas \( y \) y \( z \) en función del valor de \( t \) (es decir, del valor de \( x \)). Para eso en el sistema de ecuaciones puedes asumir que \( x \) es una constante, entonces si el sistema tiene solución ésta debe ser única prueba a ver si el sistema tiene una única solución, si no es así prueba a parametrizar otra de las coordenadas. Eso te define \( y \) y \( z \) en función de \( x \), dejándote una parametrización de la forma

\( \displaystyle{
t\mapsto (t, at+b,ct+d)
} \)

para algunas constantes \( a,b,c,d \).

Corregido.

21 Abril, 2021, 09:43 pm
Respuesta #3

franma

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Buenas,

Hola

A ver, planteamos la matriz aumentada

\[ \left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{1}&{-1}&-1&2\end{array}\right] \]

Operando sus renglones obtenemos

\[ \left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{1}&{-1}&-1&2\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{1}&1&-2\\{0}&{-2}&-2&4\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr|r}{1}&{0}&0&0\\{0}&{1}&1&-2\end{array}\right] \]

si z=t   entonces  y=-2-t    x=0

Luego la recta \[ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(0,-1,1) \]


Revisa


Saludos

No lo puedo creer, todo este rato al restar \( F_2 - F_1 \) estaba cometiendo la errata de hacer \( 2-2 \) y no \( 2-(-2) \) en la ultima columna  :(

Muchísimas gracias a ambos!

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

22 Abril, 2021, 07:34 am
Respuesta #4

feriva

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He intentado conseguir la paramétrica de la recta pero no lo logro, no se si es que mi método no es correcto o en que estoy fallando  :banghead:.

Saludos,
Franco.

Para visualizar la idea geométricamente piensa que cada ecuación de ésas representa un plano; ambos planos se cortan, como la esquina entre dos paredes de una habitación, y esa recta que se forma en las esquinas es la que define el sistema de ecuaciones; los puntos comunes de ambas ecuaciones.

Como es una recta dentro de un espacio de tres dimensiones, las paramétricas de la recta (que puedes hallar primeramente) vendrán dadas sólo por un parámetro.

Entonces tomas cualquier variable y le das otro nombre, como lambda, y pones las otras variables en función de ese parámetro lambda; por ejemplo podría ser:

\( x=\lambda
  \)

Pero vemos que sumando ambas ecuaciones tenemos

\( 2x=0
  \)

Eso signfica que todos los puntos de la recta no se mueven sobre el eje “x”, significa que “x” es una constante y no una variable; y al ser cero ese eje “desaparece” de manera que dicha recta queda contenida en el plano que queda comprendido entre los ejes “Y” “Z”.

Entonces, elegimos mejor \( y=\lambda
  \); y sustituyendo y despejando en una de las ecuaciones, tenemos

\( -\lambda-z-2=0\Rightarrow
  \)

\( z=-\lambda-2\Rightarrow
  \)

Luego, de momento, éstas son las ecuaciones paramétricas de la recta

\( x=0
  \)

\( y=\lambda
  \)

\( z=-\lambda-2
  \)

Las coordenadas del vector director de la recta las hallas despejando los términos independientes de lambda, porque te quedan, así, las coordenadas de vector, punto menos punto:

\( x-0=0
  \)

\( y-0=\lambda
  \)

\( z+2=-\lambda
  \)

El vector de la recta es entonces \( (0,\lambda,-\lambda)
  \); y es también uno de los vectores del plano. Podemos hacer lambda igual a 1 obtenemos \( v=(0,1,-1)
  \)

Necesitas otro vector del plano, y ha de ser LI con ése.

El punto que te dan no es colineal con el de la recta (si no, no definiría un plano) por tanto, tomando un punto de la recta y restándóselo al punto (1,1,1) tienes el otro vector del plano.

Haciendo lambda cero, vamos a las paramétricas y vemos que un punto es \( (0,0{\color{red}-2})
  \); un con coordenadas fáciles para operar.

Entonces, un representante del otro vector es \( (1,1,1)-(0,0,-2)=(1,1,{\color{red}3})
  \).

La ecuación vectorial del plano será

\( (x,y,z)=(1,1,1)+\alpha(0,1,-1)+\beta(1,1,{\color{red}3})
  \).

Mediante ésta obtienes las paramétricas del plano:

\( x=1+\beta
  \)

\( y=1+\alpha+\beta
  \)

\( z=1-\alpha+{\color{red}3}\beta
  \)


Saludos.

22 Abril, 2021, 08:57 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

El enunciado dice lo siguiente:
Encontrar la ecuación paramétrica y reducida del plano que pasa por el punto \( A=(1,1,1) \) y contiene a la recta:
\( r:=\begin{cases}{x+y+z+2=0}&\\x-y-z-2=0 &\end{cases} \)

Otra forma de resolver el problema puede ser mediante haces de planos. El haz de planos que generan los dos planos cuya intersección es r es el conjunto de planos que lo contiene. Algebraicamente la combinación lineal de ambas ecuaciones:

\( a(x+y+z+2)+b(x-y-z-2)=0 \)

Escogemos el plano buscado imponiendo que pase por \( A \), es decir, que \( (1,1,1) \) satisfaga la ecuación:

\( a(1+1+1+2)+b(1-1-1-2)=0 \)

De donde: \( b=5a/3 \). Sustituyendo en el haz:

\( a(x+y+z+2)+\dfrac{5}{3}a(x-y-z-2)=0 \)

\( 3(x+y+z+2)+5(x-y-z-2)=0 \)

\( 8x-2y-2z-4=0 \)

\( 4x-y-z-2= \)

Saludos.

P.D. feriva tienes una errata:

Las coordenadas del vector director de la recta las hallas despejando los términos independientes de lambda, porque te quedan, así, las coordenadas de vector, punto menos punto:

\( x-0=0
  \)

\( y-0=\lambda
  \)

\( z+2=-\lambda
  \)

El vector de la recta es entonces \( (0,\lambda,-\lambda)
  \); y es también uno de los vectores del plano. Podemos hacer lambda igual a 1 obtenemos \( v=(0,1,-1)
  \)

Necesitas otro vector del plano, y ha de ser LI con ése.

El punto que te dan no es colineal con el de la recta (si no, no definiría un plano) por tanto, tomando un punto de la recta y restándóselo al punto (1,1,1) tienes el otro vector del plano.

Haciendo lambda cero, vamos a las paramétricas y vemos que un punto es (0,0,2); uno con coordenadas fáciles para operar.

El punto es \( (0,0,\color{red}-2\color{black}) \).

Saludos.

22 Abril, 2021, 09:34 am
Respuesta #6

feriva

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P.D. feriva tienes una errata:

Las coordenadas del vector director de la recta las hallas despejando los términos independientes de lambda, porque te quedan, así, las coordenadas de vector, punto menos punto:

\( x-0=0
  \)

\( y-0=\lambda
  \)

\( z+2=-\lambda
  \)

El vector de la recta es entonces \( (0,\lambda,-\lambda)
  \); y es también uno de los vectores del plano. Podemos hacer lambda igual a 1 obtenemos \( v=(0,1,-1)
  \)

Necesitas otro vector del plano, y ha de ser LI con ése.

El punto que te dan no es colineal con el de la recta (si no, no definiría un plano) por tanto, tomando un punto de la recta y restándóselo al punto (1,1,1) tienes el otro vector del plano.

Haciendo lambda cero, vamos a las paramétricas y vemos que un punto es (0,0,2); uno con coordenadas fáciles para operar.

El punto es \( (0,0,\color{red}-2\color{black}) \).

Saludos.

Muchas gracias, Luis. Ya lo he corregido.

Saludos.

22 Abril, 2021, 03:51 pm
Respuesta #7

franma

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Buenas,

Hola

Otra forma de resolver el problema puede ser mediante haces de planos.

No sabia de esto, me ha gustado bastante esta manera de resolverlo, muchas gracias Luis.

Saludos,
Franco.
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