Autor Tema: Consistencia de un modelo

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21 Abril, 2021, 08:19 pm
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skjgnlje

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Hola a todos,

Estoy intentando resolver el siguiente problema:
Demostrar que la teoría vacía (\( T=\emptyset \)) es consistente.

Parece a simple vista bastante trivial, pero al intentarlo me he encontrado con ciertas dificultades. He probado a suponer que es inconsistente, es decir, que existe una\(  \mathcal{L} \)-sentencia \( \chi  \) tal que \( T \vdash_{\mathcal{L}} \chi \) y \( T \vdash_{\mathcal{L}} \neg \chi \). Aplicando el tma. de validez, se obtiene que \( T \models \chi \) y \( T \models \neg \chi \), pero no puedo concluír que esto sea una contradicción porque en principio no sé si \( T \) tiene un modelo.

Luego probé a demostrarlo a partir de la definición de demostración formal. Primero, es obvio que \( \chi \) no puede ser ni una tautología, ni un axioma de la igualdad, ni una sentencia de \( T \). Ahora bien, en principio puede ser inferida mediante reglas lógicas a partir de tautologías y axiomas de la igualdad. Lo que yo quería era ir yendo hacia atrás en las inferencias (proceso que terminará porque una demostración formal es finita) y llegar a que, en efecto, esto no puede ocurrir.

¿El planteamiento es adecuado o falla en algo? ¿Se puede hacer de otra forma?

21 Abril, 2021, 08:45 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Para ver que una teoría es consistente basta con probar que tiene un modelo. Pero cualquier modelo es un modelo de la teoría vacía, pues hace todas las sentencias de la teoría verdaderas (trivialmente, porque no hay ninguna).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)