Autor Tema: Si el orden es impar tiene una única raíz cuadrada

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21 Abril, 2021, 04:04 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con este ejercicio:

Sea \( G \) un grupo abeliano finito (escrito multiplicativamente). Pruebe que si el orden de \(  G \) es impar entonces cada elemento \( x \in G  \) tiene una única raíz cuadrada, esto es hay un único \( g \in G \) tal que \( x = g^2 \).

Me sugieren usar la función \( f:G \rightarrow{G} \) definida por \( f(g)=g^2 \) pero no se muy bien como hacerlo.

De antemano gracias


21 Abril, 2021, 04:18 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola tengo dudas con este ejercicio:

Sea \( G \) un grupo abeliano finito (escrito multiplicativamente). Pruebe que si el orden de \(  G \) es impar entonces cada elemento \( x \in G  \) tiene una única raíz cuadrada, esto es hay un único \( g \in G \) tal que \( x = g^2 \).

Me sugieren usar la función \( f:G \rightarrow{G} \) definida por \( f(g)=g^2 \) pero no se muy bien como hacerlo.

De antemano gracias



Observa que \( f \) es un homomorfismo, por tanto \( \operatorname{img}(f) \) y \( \operatorname{nu}(f) \) son subgrupos de \( G \). Entonces si lo que te piden demostrar es cierto debe ser el caso de que el núcleo de \( f \) es trivial ya que de otro modo si \( g\neq h \) y \( g^2=h^2 \) entonces \( (gh^{-1})^2=e \) y \( gh^{-1}\neq e \) ya que de otro modo tendríamos que \( g^{-1}=h^{-1} \) y por tanto que \( g=h \) (ahí \( e \) es la identidad), es decir, lo que te piden es equivalente a demostrar que no existe \( g\in G \) tal que \( g^2=e \) excepto si \( g=e \).

21 Abril, 2021, 04:20 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Primero comprueba que \[ f \] es un morfismo de grupos (aquí debes usar que \[ G \] es abeliano). Ahora, hay que ver que \[ f \] es inyectiva. Para ello vemos que \[ Ker(f) \] es trivial. En efecto, si \[ g \in Ker(f) \] tenemos \[ g^2=e \], pero si \[ G \] es de orden impar, el orden de \[ g \] no puede ser dos (¿por qué?), luego \[ g \] es de orden uno y \[ g=e \].
Una vez tienes que \[ f \] es inyectiva, como \[ G \] es finito es automáticamente exhaustiva, luego \[ f \] es una biyección (un isomorfismo, de hecho) y esto implica ya que todo elemento de \[ G \] tiene una única raíz cuadrada.

PD: Se adelantó Masacroso.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Abril, 2021, 04:37 pm
Respuesta #3

cristianoceli

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Muchas gracias. Lo intentaré si tengo dudas pregunto