Autor Tema: Hallar el mayor radio de convergencia

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20 Abril, 2021, 04:50 am
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carlosbayona

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Encuentre:
1) Tres términos diferentes de cero del desarrollo de taylor alrededor del origen y
2)El mayor radio de convergencia de
                     \(  ( cos   z ) ^ {1/2} \)
 Necesito su ayuda con este ejercicio, por favor he intentado resolverlo pero se me ha complicado. Y solo me faltan horas para exponerlo. Necesito terminarlo. Agradezco me ayuden. Adjunto lo que pude hacer, espero este bien.



Moderación: Arreglado LaTeX.

23 Abril, 2021, 12:38 am
Respuesta #1

carlosbayona

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Amigos, si alguien puede ayudarme con este ejercicio se los agradezco por favor

23 Abril, 2021, 03:08 am
Respuesta #2

delmar

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Hola

Es conveniente que escribas en LATEX las fórmulas.

Respecto a lo que has hecho esta bien y en el punto que has avanzado haz el cociente :

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\left |{\displaystyle\frac{1}{2} \ log(cos z) }\right | ^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{\left |{\displaystyle\frac{1}{2} \ log(cos z)  }\right |^n}{n!}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(\displaystyle\frac{1}{2}) \ \left |{log(cos z)}\right | \ \displaystyle\frac{1}{n+1}}=0 \ \ \forall{z} \ / \ cos \ z\neq 0 \)

Saca conclusiones respecto al radio de convergencia, recuerda la definición.


Saludos

23 Abril, 2021, 04:50 am
Respuesta #3

carlosbayona

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\(  f(z) = cos^1/2 Z. \)

Entonces f(z) se puede escribir como: \(  f(z)= [1 - (cosz)]^{1/2} \)
Sea \(  \alpha(z) = 1 - cosz \) y \(  g(z) = ( 1 - w)^{1/2} \)
\(  cosz = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-1^n z^{2n}}{2n!)} \)
\(  cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} = (-1 )\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} \)
Así \( \alpha(z) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} z^{2n}}{(2n)!} \)
Luego \(  (1 - w) ^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}w - \frac{1}{8}w^2 - \frac{1}{16}w^3- \frac{5}{128}w^4+...|w|<1  \)

Así \(  f(z) = g(\alpha(z)) = 1 - \frac{1}{2}[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \frac{z^6}{720}....+] - \frac{1}{8}[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \frac{z^6}{720}] ^2 - \frac{1}{16}[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \frac{z^6}{720}] \)
Por tanto
\(  cos^{1/2}z = 1 - \frac{1}{2}[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} +....] - \frac{1}{8}[\frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} +.....] + -\frac{1}{16}[\frac{z^6}{8}-....] \)
\(  = 1 - \frac{z^2}{4} - \frac{z^4}{96} - \frac{19 z ^6}{5760}+ ... \)
Para hallar el radio de convergencia entonces hacemos ?
\(  |z|<R \) con la condición \(  |\alpha(z) - \alpha(0)|<R  \)
\(  |(1 - cosz) - \alpha(0) = |1 - cosz|<1 \)
Este procedimiento es correcto? He vuelto a colocar el ejercicio pero mas desarrollado. Puedo concluir así? De verdad estoy muy confundido en hallar el radio de convergencia. Ayudenme por favor.