Autor Tema: Analyse des Infiniment Petits

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19 Abril, 2021, 08:51 pm
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NoelAlmunia

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Uno de los problemas que planteó el marqués de L´Hospital en su libro Analyse des Infiniment Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto \( C \) mediante una cuerda de longitud \( r \). En otro punto \( B \) sobre el techo, a una distancia \( d \) de \( C \) \( \left(donde\,d>r\right) \), una cuerda de longitud \( l \) se conecta a la polea pasando por esta en \( F \) y se ata a un peso \( W \). El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio \( D \).
Tal como argumentó L'Hospital, esto sucede cuando la distancia \( \left|\overline{ED}\right| \) es máxima.
Demuestre que cuando el sistema alcanza el punto de equilibrio, se cumple que el valor de la distancia \( \left|\overline{EC}\right| \) es: \( \left(\displaystyle\frac{r}{4d}\right)\,\left(r+\sqrt[ ]{r^2+8d^2}\right) \)

He logrado comprobarlo de manera numérica, pero no de manera literal como se pide.


20 Abril, 2021, 10:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Uno de los problemas que planteó el marqués de L´Hospital en su libro Analyse des Infiniment Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto \( C \) mediante una cuerda de longitud \( r \). En otro punto \( B \) sobre el techo, a una distancia \( d \) de \( C \) \( \left(donde\,d>r\right) \), una cuerda de longitud \( l \) se conecta a la polea pasando por esta en \( F \) y se ata a un peso \( W \). El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio \( D \).
Tal como argumentó L'Hospital, esto sucede cuando la distancia \( \left|\overline{ED}\right| \) es máxima.
Demuestre que cuando el sistema alcanza el punto de equilibrio, se cumple que el valor de la distancia \( \left|\overline{EC}\right| \) es: \( \left(\displaystyle\frac{r}{4d}\right)\,\left(r+\sqrt[ ]{r^2+8d^2}\right) \)

He logrado comprobarlo de manera numérica, pero no de manera literal como se pide.



Admitiendo que el equilibrio se produce cuando \( ED \) es máximo se trata de maximizar esta distancia.

Si llamamos \( EC=x \) tenemos:

\( EF^2=r^2-x^2 \)

\( FD=l-BF=l-\sqrt{BE^2+EF^2}=l-\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2} \)

\( ED=EF+FD \)

Se trata entonces de maximizar:

\( f(x)=l+\sqrt{r^2-x^2}-\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2} \)

La derivada es:

\( f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}-\dfrac{-d}{\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2}} \)

Igualando a cero queda:

\( \dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}=\dfrac{d}{\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2}} \)

Elevando al cuadrado y multiplicando en cruz:

\( x^2((d-x)^2+r^2-x^2)=d^2(r^2-x^2) \)
\( x^2(d-x)^2+x^2(r^2-x^2)=d^2(r^2-x^2) \)
\( x^2(d-x)^2=(d^2-x^2)(r^2-x^2) \)

Podemos dividir ambos términos por \( d-x \) (teniendo en cuenta que \( x=d \) no es posible):

\( x^2(d-x)=(d+x)(r^2-x^2) \)
\( 2dx^2-xr^2-r^2d=0 \)

De donde:

\( x=\dfrac{r^2\pm \sqrt{r^4+8d^2r^2}}{4d}=\dfrac{r}{4d}(r\pm \sqrt{r^2+8d^2}) \)

Eliminando la solución negativa queda:

\( x=\dfrac{r}{4d}(r+ \sqrt{r^2+8d^2}) \)

Quedarían los detalles de justificar que es un máximo vía segunda derivada o estudio de crecimiento y decrecimiento.

Saludos.

20 Abril, 2021, 03:20 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

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Gracias Luis, ya vi cual es el problema. Tú mantuviste \( \left(d-x\right)^2 \) hasta el final, yo no. Yo lo descompuse y por tanto obtuve una ecuación cúbica al derivar e igualar a cero, de la forma: \( 2d\,x^3-\left(2d^2+r^2\right)\,x^2+d^2\,r^2=0 \), que tiene la estructura \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)
Para darle solución la llevé a la forma: \( y^3+3py+2q=0 \)
Dónde: \( 2q=\left(\displaystyle\frac{2b^3}{27a^3}\right)-\left(\displaystyle\frac{bc}{3a^2}\right)+\displaystyle\frac{d}{a} \) y \( 3p=\displaystyle\frac{3ac-b^2}{3a^2} \).
Para esto tuve que asignarles valores a \( d \), a \( r \) y a \( l \); y como el discriminante \( D=q^2+p^3 \) me dio menor que cero, pude determinar los tres valores reales \( y_1 \), \( y_2 \) y \( y_3 \).
Luego retorno a la variable \( x \) mediante la sustitución: \( x=y-\displaystyle\frac{b}{3a} \)
De estas tres soluciones, una de ellas no satisface la primera derivada y otra no es ni máx, ni mín; solo una constituye un máximo de la función \( \overline{ED}_\left(x\right) \)

Lo comprobé dando valores: \( d=5 \), \( r=2 \), \( l=6 \)
Obtuve: \( x_1=5 \), \( x_2=-1.228 \) y \( x_3=1.628 \)
El punto cero de la derivada: \( x_3=1.628 \) es el que constituye el máximo de la función \( \overline{ED}_\left(x\right) \)

Voy a adjuntar esta comprobación gráfica que obtuve como resultado.
Este valor lo comprobé en la solución que da el ejercicio y concuerda perfectamente.

Por eso decía que la solución la comprobé de forma numérica pero no literal como se pide.

Muchas gracias.