Autor Tema: Círculo inscrito en un cuarto de elipse

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22 Abril, 2021, 03:47 pm
Respuesta #30

Luis Fuentes

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Hola

Luis
Efectivamente, la curva COMPLETA que describen los centros de los círculos buscados no es una cónica pero sí lo es el arco que tengamos en la franja (-t0,t0) que da los puntos que interesan cuando se pretende buscar la circunferencia tangente a la elipse, el eje OX y el eje OY. Si no, ¿Cómo explicas que la construcción funciona cuando mueves la elipse, cambias sus focos o un punto para hacerla mas o menos esbelta. También funciona si cambias la elipse por otro tipo de cónica (por ejemplo una hipérbola) e incluso cuando buscas construcciones con ejes no perpendiculares.

Por que lo que estás haciendo es interpolar la curva de centros a través una cónica que pasa por cinco puntos; el cálculo que haces de los cinco punto es correcto, porque tu construcción del centro de la circunferencia tangente a partir del punto de corte de la normal a le elipse en el punto de tangencia con el eje \( OX \) es correcta (y muy chula, por cierto).

Pero con esa interpolación sólo obtienes una curva que APROXIMA la curva de centros, pero no la curva de centros.

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La construcción que haces está muy bien si partimos del punto de tangencia, pero nuestro problema es que no lo conocemos, sólo el punto del eje OX que dista D del centro.

Lo ideal sería una construcción partiendo del punto de tangencia de la circunferencia con el eje \( OX \). Pero ni la tuya ni la mía lo consigue. ¿De acuerdo en eso?.

Entonces está bien tu construcción partiendo del punto de corte de la normal a la elipse en el punto de tangencia con el eje de abcisas, aunque en mi opinión es un punto de partida no muy natural; pero también puede hacerse (y me parece más natural) plantearse una construcción a partir del punto de tangencia de la recta.

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Aún así, prueba que la curva de centros no es una cónica (si la consideramos entera). Ya que has calculado el centro (lo que te sirve para calcular la curva verde), mira el valor máximo  alrededor de \( t=0 \)  para que el arco de curva de los centros sea una cónica
.

No entiendo lo que dices. Lo que he dado es una parametrización de la curva de centro en función del parámetro \( t \). Cuando \( t=0 \), daría una circunferencia de radio cero con centro en el vértice \( A \), porque el punto de tangencia \( C \) están en \( A \).

Si desarrollas la parametrización que he dado, sustituyendo los valores de \( x(t),y(t) \) por respectivamente \( acos(t),bsin(t) \) verás que no se obtiene la parametrización de una cónica.

La curva que se obtiene es algebraica, en cuanto que es solución de unas ecuaciones polinómicas y por tanto o bien es reducible o bien tiene que corresponder a una curva de grado constante. En otras palabras no es posible que sea un trocito una cónica y otro trocito no.

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Evidentemente, dicho valor dependerá de la precisión que impongamos pero en cualquier caso, de la expresión que obtienes de la curva de centros, es claro que el límite cuando t tiende a cero es una expresión de 2º grado, esto es, una cónica.
Si lo que se pretende es dar una construcción genérica de círculos tangentes al eje OX y la cónica, no se usa el lugar de centros, así que todas las hojas que he expuesto siguen siendo válidas.

Lo único que no es válido, si se pretende una solución exacta, es la interpolación que haces de la curva de centros por una cónica. Es una APROXIMACIÓN; no es mala porque la curva se parece bastante a un trozo de cónica y además tomas cinco puntos. Pero no es exacta.

Si te fijas en esta foto sacada de tu construcción, tu curva de centros corta al eje \( OX \) en un punto que no coincide con el vértice de la elipse original. Eso no tiene sentido porque a medida que el centro se acerca al eje \( OX  \)el radio del círculo tangente se acerca a cero y por tanto en el límite, cuando el radio es cero, el centro de tal círculo debe de pertenecer a la elipse.



Añadido: otra cosa que puedes hacer tu mismo (lo he hecho yo en tu propio cuaderno de geogebra) es modificar los 5 puntos que usas para interpolar: mover uno de ellos. Verás que la cónica interpoladora cambia; se parecen mucho unas a otras cerca del el ele OY, pero se ve claramente que son cónicas distintas. Esto es otra forma de comprobar lo que te digo: la curva de centros no es una cónica y lo que tu utilizas son aproximaciones.

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Soy consciente de que soy un forero con karma = -5, esto es, calificación de COMPLETAMENTE IGNORANTE, pero las matemáticas no son opinables y cuando algo está bien puede sostenerse independientemente que quienes sean los interlocutores. Te recomiendo que leas el problema de Monty Hall https://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
cuando se publicó su solución generó no poca polémica en la que incluso matemáticos de cierto prestigio arremetieron contra la autora y la tacharon de ignorante.

Si quieres debatir este problema geométrico de la elipse, encantado. Es un problema bonito y tus ideas iniciales me han parecido interesantes.

En otro tipo de cuestiones no voy a entrar.

Saludos.

22 Abril, 2021, 07:29 pm
Respuesta #31

ancape

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Hola

Por que lo que estás haciendo es interpolar la curva de centros a través una cónica que pasa por cinco puntos; el cálculo que haces de los cinco punto es correcto, porque tu construcción del centro de la circunferencia tangente a partir del punto de corte de la normal a le elipse en el punto de tangencia con el eje \( OX \) es correcta (y muy chula, por cierto).

Pero con esa interpolación sólo obtienes una curva que APROXIMA la curva de centros, pero no la curva de centros.

Quizá no sea este hilo el lugar adecuado para hablar sobre el concepto matemático de exactitud. Pero ya que ha surgido del problema de encontrar una circunferencia tangente a los ejes de una elipse y a la propia elipse voy a desarrollarlo un poco.

Lo que hago no es interpolar sino obtener EXACTAMENTE el círculo que es tangente a los dos ejes y a la cónica. Adjunto archivo pdf donde analizo la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas.
La expresión analítica que das de la curva de centros, no se resuelve el problema de encontrar la circunferencia tangente a ambos ejes y a la elipse. ¿Cuál es el valor de t para el centro de tal círculo?

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La construcción que haces está muy bien si partimos del punto de tangencia, pero nuestro problema es que no lo conocemos, sólo el punto del eje OX que dista D del centro.

Lo ideal sería una construcción partiendo del punto de tangencia de la circunferencia con el eje \( OX \). Pero ni la tuya ni la mía lo consigue. ¿De acuerdo en eso?.
.

El único archivo ggb que parte del punto de tangencia y lo mueve a lo lardo de la elipse, es el etiquetado como (mov) en todos los demás se parte del punto del eje OX situado a distancia D del centro y se encuentra el punto de tangencia trazando la normal desde este.
Partir del punto de tangencia de la circunferencia con el eje, no sería una buena opción pues el dato inicial es D.

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No entiendo lo que dices. Lo que he dado es una parametrización de la curva de centro en función del parámetro \( t \). Cuando \( t=0 \), daría una circunferencia de radio cero con centro en el vértice \( A \), porque el punto de tangencia \( C \) están en \( A \).

Si desarrollas la parametrización que he dado, sustituyendo los valores de \( x(t),y(t) \) por respectivamente \( acos(t),bsin(t) \) verás que no se obtiene la parametrización de una cónica.

La curva que se obtiene es algebraica, en cuanto que es solución de unas ecuaciones polinómicas y por tanto o bien es reducible o bien tiene que corresponder a una curva de grado constante. En otras palabras no es posible que sea un trocito una cónica y otro trocito no.


Mira la diferencia entre evaluar una función en un punto y hallar el límite cuando se tiende a ese punto.



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Lo único que no es válido, si se pretende una solución exacta, es la interpolación que haces de la curva de centros por una cónica. Es una APROXIMACIÓN; no es mala porque la curva se parece bastante a un trozo de cónica y además tomas cinco puntos. Pero no es exacta.


Vuelvo a insistir, no es una aproximación, es una solución exacta.

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Si te fijas en esta foto sacada de tu construcción, tu curva de centros corta al eje \( OX \) en un punto que no coincide con el vértice de la elipse original. Eso no tiene sentido porque a medida que el centro se acerca al eje \( OX  \)el radio del círculo tangente se acerca a cero y por tanto en el límite, cuando el radio es cero, el centro de tal círculo debe de pertenecer a la elipse.

El punto de corte que hallo en el eje OY es un problema local. Por supuesto que si no alejamos del eje OY suceden cosas incomprensibles o claramente erróneas.

23 Abril, 2021, 11:32 am
Respuesta #32

Luis Fuentes

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Hola

Lo que hago no es interpolar sino obtener EXACTAMENTE el círculo que es tangente a los dos ejes y a la cónica. Adjunto archivo pdf donde analizo la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas.

No sé a que viene filosofar sobre lo que son soluciones exactas y aproximadas. Creo que los dos sabemos perfectamente que es una solución exacta, explícita de una ecuación y otra aproximada.

Pero se trata de llamar a las cosas por su nombre.

El ejemplo de la catenaria es perfecto. Una catenaria NO es una parábola; ¿hay situaciones en que la aproximación de una catenaria por una parábola puede ser suficientes? Si. Pero no sería correcto hacerlas pasar por EXACTAS.

Como última alusión al PDF, allí no sé si pones en duda mis fórmulas. Dímelo y si quieres te demuestro como las he deducido. Son sencillas.

Dicho esto sería bueno que usases argumentos concretos para rebatir las afirmaciones.

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La expresión analítica que das de la curva de centros, no se resuelve el problema de encontrar la circunferencia tangente a ambos ejes y a la elipse. ¿Cuál es el valor de t para el centro de tal círculo?

Efectivamente no soy capaz de despejar explícitamente \( t \). Aunque ojo, si se obtiene una ecuación en una variable, el parámetro \( t \) que puede ser resuelta por métodos numéricos, sin más que igualar las dos coordenadas de la expresión explícita de los centros que indicados.

Desde el principio también presenté otras ecuaciones de donde, resolviéndolas, podía obtenerse el centro buscado. Problema: no soy capaz de dar una solución explícita cómoda en función de \( a \) y \( b \). Digo cómoda, porque en realidad si se obtiene la expresión, lo que pasa es que es horrible ya que supone resolver ecuaciones polinómicas de tercer o cuarto grado.

Por otra parte tampoco por el método que utilizas, tenemos una expresión explícita de las coordenadas del centro en función de \( a \) y \( b \). ¿De acuerdo en eso?.

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Partir del punto de tangencia de la circunferencia con el eje, no sería una buena opción pues el dato inicial es D.

Bueno si el dato inicial es \( D \), es decir, el punto de corte con el eje \( OX \) de la normal a la elipse en el punto de tangencia, cierto.

Pero a mi me parece que la intención de Tom Gim era partir del punto de tangencia de la circunferencia con el eje \( OX \).

No obstante no creo que esto deba de ser un punto de disputa. Son diferentes aproximaciones a un mismo problema. Los distintos puntos de vista variando el dato inicial son enriquecedores. ¿De acuerdo?.

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Mira la diferencia entre evaluar una función en un punto y hallar el límite cuando se tiende a ese punto.

No entiendo a que viene esto.

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Vuelvo a insistir, no es una aproximación, es una solución exacta.

¡Pero te he dado argumentos concretos que DEMUESTRAN que tu solución no es exacta!.

1) La elipse interpoladora que usas varía al modificar los cinco puntos que usas. Es más si dejas cuatro de ellos fijos y modificas el quinto, la elipse va variando. Así que es imposible que el punto de corte con la recta \( x=y \) donde localizas el centro buscado sea exactamente el mismo, porque dos cónicas no degenereadas diferentes sólo pueden coincidir en cuatro puntos.

2) La curva de centro es una curva algebraica. Si es irreducible no puede ser un trozo de grado dos y otro de de grado diferente. No puede ser una cónica "a trocitos"; y es evidente de la parametrización que he presentado que NO es una cónica.

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El punto de corte que hallo en el eje OY es un problema local. Por supuesto que si no alejamos del eje OY suceden cosas incomprensibles o claramente erróneas.

 :D No es incomprensible; es muy fácil de entender. La curva de centros no es una elipse y por tanto al alejarse de los puntos de interpolación se pone más de manifiesto el error.

 Si se trata de hallarlo gráficamente intersecando la curva de centros que yo he parametrizado con al bisectriz de los ejes \( x=y \) también puede hallarse el centro de la circunferencia que inicialmente se buscaba en este hilo.

 Puedes verlo en el gráfico que planteo a continuación. También puedes ver como la elipse interpoladora varía al dejar fijos cuatro puntos y mover el quinto (moviendo el punto \( C \)).

 Ambas cosas se activan "pinchando" en las casillas de control.

 Se ve que la elipse es MUY BUENA APROXIMACIÓN de la curva exacta en la zona cercana al punto que nos interesa, no te lo niego... pero no deja de ser una aproximación y esto te lo he razonado objetivamente.


Saludos.