Hola.
Estaba estudiando sobre el axioma de completitud y me he topado con la siguiente proposición, ya demostrada :
Sea $$E\not= \emptyset$$ un subconjunto de $$\mathbb{R}$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Entonces $$\alpha$$ es el supremo de $$E$$ si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:
$$(i)$$ $$\alpha$$ es cota superior de $$E$$.
$$(ii)$$ Para cada $$\epsilon >0$$ existe $$x\in E$$ tal que $$x> \alpha - \epsilon$$.
He entendido la demostración, pero no logro ver claro el recíproco, los apuntes que estoy siguiendo dicen así:
Supongamos que las condiciones $$(i)$$ y $$(ii)$$ se verifican. Entonces $$\alpha$$ es una cota superior, debemos probar que es menor o igual que cualquier otra cota superior. Sea entonces $$a$$ una
cota superior, por definición debe verificar $$a \geq{x}$$ para $$x \in E$$.
Tomemos ahora cualquier $$\epsilon > 0$$, por la condición $$(ii)$$ existe un $$x_{\epsilon} \in E$$ tal que $$x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$. Entonces $$a\geq{} x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$;
esto es $$\alpha < a + \epsilon$$.
Pero como esto es cierto para cada $$\epsilon >0$$, por la proposición anterior, se tendrá que $$\alpha \leq{a}$$, como queríamos demostrar.
¿Podría alguien por favor explicarme cómo hace para pasar de la frase en azul a la conclusión en rojo?
Muchas gracias de antemano.
Saludos.
