[Farifutbol]

Es una duda de un ejercicio que se hacer, pero no se si se puede justificar una forma más rápida.
El experimento aleatorio siguiente.
Se lanzan 3 monedas y contamos el número de caras, variable X. A continuación lanzamos X dados y llamamos Y a la suma de los dados. ¿Cuánto vale la esperanza de Y?

Sabiendo que se puede el teorema de la probabilidad total al cálculo de la esperanz matematica, y como esperanza matemática del lanzamiento de 1 dado es \( \displaystyle\frac{7}{2} \)
Puedo calcular la Esperanza como

\( E[Y]=\displaystyle\frac{1}{8} \cdot 0 \cdot \displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{3}{8} \cdot 1 \cdot \displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{3}{8} \cdot 2 \cdot \displaystyle\frac{7}{2}+\displaystyle\frac{1}{8} \cdot 3 \cdot \displaystyle\frac{7}{2}=\displaystyle\frac{21}{4} \)

La duda que me aparece es que si uno se fija, este resultado es el producto de las esperanzas!

\( \displaystyle\frac{3}{2}\cdot \displaystyle\frac{7}{2}=\displaystyle\frac{21}{4} \)
Esto quiere decir que si tengo la esperanza condicionada, pero las 2 son independientes, ¿puedo hacerlo?
¿Es por eso?

[geómetracat]

Es un caso particular de la ecuación de Wald, que es un resultado muy útil para este tipo de problemas.

En este caso es fácil de probar directamente. Si \[ Z \] es la variable aleatoria que cuenta el resultado de un dado, como los lanzamientos de los dados son independientes, \[ E(Y|X=i)=iE(Z) \] y:
\[ E(Y)=E(E(Y|X))=\sum_{i=0}^3 P(X=i)E(Y|X=i)=\sum_{i=0}^3P(X=i)iE(Z)=E(Z)\sum_{i=0}^3 iP(X=i)=E(Z)E(X) \].

[Farifutbol]

Extraordinario!
A ver si encuentro más ejercicios donde se pueda aplicar