[Asdfgh]

Buenas tardes.

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio.

Sea \( X=\{f\in C[0,1]:f(1/2)=0\} \) espacio normado con la norma inducida por \( C[0,1] \) y el funcional lineal \( \varphi : X \rightarrow \mathbb{K} \) definido por

\[ \varphi (f) = \displaystyle\int_{0}^{1} f(t) dt \ \ \forall f \in X \]

Probar que \( \varphi \) es continuo y calcular su norma.

Lo que he hecho hasta ahora:

Para toda función \( f \in X \) se tiene que

\[ \left |{\varphi (f)}\right | = \left |{\displaystyle\int_{0}^{1}} f(t) dt\right | \leq \displaystyle\int_{0}^{1} \left |{f(t)}\right |dt \leq \left\|{f}\right\|_{\infty} \]

luego \( \varphi \) es continuo con \( \left\|{\varphi}\right\| \leq 1 \). Probaremos que de hecho se tiene la igualdad.

Ahora debo definir una función \( g \in X \) tal que \( \left\|{\varphi}\right\| \geq \left |{\varphi (g)}\right | \) y tal que

\[ \left\|{\varphi}\right\| \geq 1 - \epsilon \]

donde \( \epsilon \in (0,1) \) y tengamos \( \left\|{\varphi}\right\| \geq 1 \) y por tanto \( \left\|{\varphi}\right\|=1 \)

La función \( g \) buscada debe cumplir que \( g(1/2)=0 \) y no se me ocurre una que cumpla eso y pueda seguir con el problema.

Cualquier ayuda es buena, gracias!

[geómetracat]

Considera una función \( f_\epsilon \) que valga \( 1 \) en \( [0,\frac{1}{2}-\epsilon] \cup [\frac{1}{2}+\epsilon] \), con \( f(1/2)=0 \), e interpola linealmente entre \( \frac{1}{2}-\epsilon \) y \( \frac{1}{2} \), y entre \( \frac{1}{2} \) y \( \frac{1}{2}+\epsilon \). Es decir, la función es la función constante \( 1 \) salvo en un entorno pequeño de \( \frac{1}{2} \) donde hace una V.

Entonces tienes que \( \varphi(f_\epsilon) \geq 1-2\epsilon \) y \( ||f_\epsilon||_\infty=1 \). Con esto ya tienes suficiente para probar que \( ||\varphi||=1 \).

[Asdfgh]

Tengo dudas de si la función \( f_{\epsilon} \) estaría bien definida así.

Fijando \( \epsilon \in \mathbb{R} \) con \( 0<\epsilon <1 \), definimos \( f_{\epsilon}:]\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon[\rightarrow{\mathbb{R}} \)

\[ f_{\epsilon}(t)=0 \ \ \ \forall t \in ]\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon[ \]

Donde \( f_{\epsilon} \) es continua para todo \( t \in ]\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon[ \), luego si la extendemos definiendo

\[ f_{\epsilon}(t)=1 \ \ \ \forall t \in [0,\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon]\cup [\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon,1] \]

obtenemos que \( f_{\epsilon}\in C[0,1] \) con \( f_{\epsilon}(1/2)=0 \) por lo que \( f_{\epsilon} \in X \) que verifica \( \left\|{f_{\epsilon}}\right\|_{\infty}=1 \) y tenemos que

\[ \varphi (f_{\epsilon})=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon}1 \ dt + \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon}^{\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon}0 \ dt + \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon}^{1}1 \ dt = 1-2\epsilon \]

Como \( \left\|{\varphi}\right\| \geq \left |{\varphi (f_{\epsilon})}\right | \) deducimos que

\[ \left\|{\varphi}\right\| \geq 1-2\epsilon \]

Como es válido para todo \( \epsilon \in ]0,1[ \) tenemos que \( \left\|{\varphi}\right\| \geq 1 \) y con la desigualdad inicial \( \left\|{\varphi}\right\| \leq 1 \) tenemos la igualdad y entonces \( \left\|{\varphi}\right\| =1 \)

[geómetracat]

Tengo dudas de si la función \( f_{\epsilon} \) estaría bien definida así.

Fijando \( \epsilon \in \mathbb{R} \) con \( 0<\epsilon <1 \), definimos \( f_{\epsilon}:]\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon[\rightarrow{\mathbb{R}} \)

\[ f_{\epsilon}(t)=0 \ \ \ \forall t \in ]\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon[ \]

No hombre. Si la defines así no es continua, hay una discontinuidad en \( \frac{1}{2}-\epsilon \) y otra en  \( \frac{1}{2}+\epsilon \).

Tienes que interpolar linealmente. Es decir, la función debería ser:
\[ f_\epsilon(t)=-\frac{1}{\epsilon}\left(t-\frac{1}{2}\right) \] para \[ t \in \left[\frac{1}{2}-\epsilon, \frac{1}{2}\right] \].
Y algo parecido para \[ t \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\epsilon \right] \].

Por lo demás el razonamiento está perfecto.

[Asdfgh]

Podría definirla entonces como

\[ f_{\epsilon}(t)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\cdot (\left |{t}\right |-\displaystyle\frac{1}{2}) \]

para todo \( t \in [\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon] \) ??

[geómetracat]

Podría definirla entonces como

\[ f_{\epsilon}(t)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\cdot (\left |{t}\right |-\displaystyle\frac{1}{2}) \]

para todo \( t \in [\displaystyle\frac{1}{2}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{2}+\epsilon] \) ??

No. Como en el intervalo \( t>0 \), da igual poner el valor absoluto.
Lo que sí funciona es:
\[ f_{\epsilon}(t)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\cdot \left|{t}-\displaystyle\frac{1}{2}\right| \]

[Asdfgh]

Vale gracias, otra duda.

El \( \epsilon \) estaría en \( ]0,\displaystyle\frac{1}{2}[ \)?

Es que puse que \( \epsilon \in ]0,1[ \) y no me dijiste si estaba mal pero si fuese así, tomando \( \epsilon = 0.8 \) por ejemplo, ya no estaría \( t \) bien definida, puesto que en ese caso \( t \in [-0.3,1.3] \) y ya no se cumpliría lo que decimos.

Gracias por su atención.

[geómetracat]

Sí, claro. Pero es lo de menos, basta tomar \( \epsilon \) lo suficientemente pequeños.