Autor Tema: Recta que pasa por el baricentro

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10 Abril, 2020, 11:11 am
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Farifutbol

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Se considera un triángulo ABC y sea G su baricentro. Se traza una recta que pasa por G y que corta al segmento AB en un punto P y al segmento AC en un punto Q demuestre que:
\( \displaystyle\frac{PB}{PA}\cdot \displaystyle\frac{QC}{QA}\leq{\displaystyle\frac{1}{4}} \)

15 Abril, 2020, 05:10 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.


Considera los puntos \( M \) y \( N \) situados respectivamente sobre \( AB \) y sobre \( AC \) tales que \( AM=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AB} \) y \( AN=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AC} \). Se tiene que:

\( Área(PMG)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}PG\cdot{}GM\cdot{}\sin(\widehat{PGM})=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}PG\cdot{}GN\cdot{}\sin(\widehat{QGN})\leq{}\cdot{}QG\cdot{}GN\cdot{}\sin(\widehat{QGN})=Área(QNG) \)

Obteniéndose la igualdad en el caso del triángulo degenerado cuando \( P=M \). Por lo tanto, y considerando sin perder generalidad que \( BP\leq{BM} \): 

\( Área(APQ)\geq{}Área(AMN)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{AM}\cdot{AN}\cdot{}\sin(\widehat{A})=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{}{AB}\cdot{}\displaystyle\frac{2}{3}\cdot{AC}\cdot{}\sin(\widehat{A})=\displaystyle\frac{4}{9}\cdot{}Área(ABC) \)

Por otro lado, considerando la figura simétrica con respecto al punto medio de \( AC \) se tiene que el triángulo \( APQ \) y el paralelogramo \( PQP'Q' \) comparten la base \( PQ \) y tienen la misma altura, ya que para el triángulo sería la distancia de \( A \) a \( PQ \) y para el paralelogramo la distancia de \( G' \) a \( PQ \), ambas iguales por ser \( G' \), a su vez, el simétrico de \( A \) con respecto a \( G \).

Con lo que se cumple que \( Área(PQP'Q')=2\cdot{}Área(APQ) \)

Y, por tanto, \( Área(PBQ')=Área(ABC)-2\cdot{}Área(APQ)\leq{}\displaystyle\frac{1}{9}Área(APC) \)

De aquí que \( \displaystyle\frac{Área(PBQ')}{Área(APQ)}\leq{}\displaystyle\frac{1}{4} \)

Y finalmente substituyendo:

\( Área(APQ)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}AP\cdot{}AQ\cdot{}\sin(\widehat{A}) \)
\( Área(PBQ')=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}BP\cdot{}CQ\cdot{}\sin(\widehat{A}) \)

Se obtiene la relación pedida.

Un saludo.

17 Abril, 2021, 02:59 pm
Respuesta #2

martiniano

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\triangle{}Hola.

Me he dado cuenta de que es el problema 3 de la Olimpiada Española de 1995. Hay un enlace con las soluciones a todos los problemas al final de la página.

Un saludo.