Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: aeonxxx en 02 Junio, 2011, 07:41 am

Título: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: aeonxxx en 02 Junio, 2011, 07:41 am
Hola, que tal? No se me ocurren ejemplos en espacios métricos para ver esto:

1) A y B conexos, su intersección no es necesariamente conexo

2) Si A es conexo, int(A) no es necesariamente conexo

Deben ser muy sencillos, realmente...pero no me están saliendo.
Si me dan una mano, gracias.

Saludos
Título: Re: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: jbgg en 02 Junio, 2011, 02:41 pm
Para el a) con espacios de elementos finitos es fácil:
Sea \( X=\{1,2,3,4,5,6\} \), con la topología \( \tau_X=\{ \emptyset,X,\{3\},\{4\},\{3,4\} \} \).
El conjunto \( A=\{1,2,3,4\}\mbox{ y }B=\{3,4,5,6\} \) son conexo, y su intersección no lo es:
\( A\cap B=\{3,4\}=\{3\}\cup\{4\} \) (se pone como unión de abiertos no triviales)

Para el b) a la ligera no caigo, si se me ocurre algo luego lo pongo.
Título: Re: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: aeonxxx en 02 Junio, 2011, 05:08 pm
Gracias por responder jbgg.

Como era medio tarde, me olvidé de aclarar que los ejemplos debían ser en espacios métricos.
Como espacio métrico los conjuntos q me pusiste no son conexos...no?

Saludos
Título: Re: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: jbgg en 02 Junio, 2011, 06:40 pm
Aaah okok, en realidad pensé preguntarte en qué contexto, te voy a dar la idea de como puede ser, en \( \mathbb{R}^2 \) los siguientes conjuntos, el que está en naranja, que son los cuadrantes 2º,3º y 4º y la recta que la corta, está claro que estos son conexos y como puedes ver su intersección no es conexa.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=46691.0;attach=8643)
Título: Re: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: Don Equis en 02 Junio, 2011, 10:04 pm
Hola.

En el 1, imagínate dos medialunas que se tocan en las puntas. La intersección serán las puntas aisladas, mientras que cada conjunto era conexo.

En el 2, imagínate dos círculos rellenos unidos en un punto. Cuando tomes el interior, te quedarán ambos círculos, pero aislados ambos.

Saludos.
Título: Re: Ejemplos de espacios conexos
Publicado por: aeonxxx en 02 Junio, 2011, 10:13 pm
Gracias a ambos.