[administrador]

PDF con ejercicios propuestos

Enviado por michel

[Michel]

Me extraña muchísimo que, transcurridos tantos días desde el 18 de mayo en que el administrador puso esta colección de ejercicios, nadie haya enviado ninguna solución.

Para romper el fuego, empiezo con los dos primeros.

1. Dos triángulos tienen la misma base BC y los vértices A y A’ están en una paralela a BC. Comparar sus áreas.

Figura

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Los triángulos ABC y A'BC (ver figura adjunta), que tienen la misma base, tienen iguales sus alturas AH y AH'; luego tienen iguales sus áreas, esto es, son equivalentes.

2. A y B son puntos fijos de una recta. Situar un punto C de una paralela a esa recta para que el área del triángulo ABC sea la mayor posible.

Sea cual sea la posición del punto C en la paralela a AB, todos los triángulos formados son equivalentes, por tener alturas iguales.

Saludos.

[Fernando Díaz]

11. ABCD es el cuadrado unidad. Hallar el área del rectángulo ACFE.

Hallemos el lado AC, utilizando el teorema de pitágoras lo cual nos queda \( AC=\sqrt[ 2]{(AD)^2+(CD)^2}=\sqrt[ 2]{2} \) por ser una cuadrilátero entonces el lado \( EF=\sqrt[ 2]{2} \).

Ahora trazando el segmento BD=AC encontramos el punto centro del cuadrado llamemos a este punto G, dividiendo en 2 el segmento BD, por lo tanto queda \( \displaystyle\frac{\sqrt[ 2]{2}}{2} \) y hallando el área de este triángulo usando el teorema de pitágoras nuevamente, encontramos un cuarto del área del cuadrado y finalmente multiplicándola por 4, el área final del cuadrilátero\(  ACFE=1 \)

Espero me hubiera quedado bien ... saludos   

[Michel]

De acuerdo fernandodm, el rectángulo y el cuadrado tienen áreas iguales.

Figura

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Fíjate cómo se puede resolver el problema sin hacer cálculos (adjunto).

Traza la diagonal BD. Observarás que el cuadrado ABCD está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales y también el rectángulo ACFE; luego ésta también tiene área unidad.

Más o menos así pueden hacerse casi todos los propuestos en esta sección, gráficamente, sin cálculos.

Un saludo.

[Fernando Díaz]

Ok michel tengo una pregunta donde puedo hacer esas gráficas ? o que programa me facilita hacerlas...
gracias ... y pues hay estoy aprendiendo

[Michel]

Es norma en este Foro hacer las figuras con GEOGEBRA.

Saludos

[Michel]

Sigo presentando problemas propuestos.

3. En un triángulo se traza una mediana. Comparar las áreas de los dos triángulos que se forman.

Sea AM una mediana; los triángulos ABM y AMC tienen bases iguales y la misma altura AH; sus áreas serán iguales. HACED LA CORRESPONDIENTE FIGURA.

4. En un triángulo ABC los puntos M y N dividen al lado BC en tres partes iguales. Comparar las áreas de los tres triángulos formados

Muy parecido al anterior.

ÁNIMO.

[Michel]

5. En un paralelogramo se trazan las diagonales. Comparar las áreas de los cuatro triángulos formados.

Figura

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Hacemos este ejercicio teniendo en cuenta el resultado del ejercicio 3: una mediana de un triángulo lo divide en dos triángulos equivalentes.

Sea el paralelogramo ABCD, cuyas diagonales AC y BD se cortan en O, centro del paralelogramo.

Se sabe (se debe saber) que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio; entonces DO es una mediana del triángulo ADC, por lo que los triángulos AOD y DOC son equivalentes. Análogamente para los otros pares.

Saludos.

[Michel]

En adelante, designaré con (XYZ) el área de la figura XYZ.

Figura

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(ABM)=(AMC) porque AM es mediana del triángulo ABC

(EBM)=(EMC) porque EM es mediana del triángulo EBC

Restando ambas expresiones resulta: (ABE)=(AEC)


Intentemos hacerlo de otra manera.

[Michel]

Se han trazado las tres medianas de un triángulo. ¿Qué relación hay entre las áreas de los seis triángulos formados?

Figura

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Con (X) designo el área de la figura X. Para este ejercicio tener en cuenta el resultado del ejercicio 3.

(1)=(2), (3)=(4), (5)=(6)

Por otra parte: (1)+(2)+(3)=(1)+(2)+(6), de donde (3)=(6).

Análogamente se demuestra (1)=(4), (3)=(6)

Los seis triángulos tienen áreas iguales, es decir, son equivalentes.