[ancape]

Hola

Problema del día:

Para cualquier triángulo, los simétricos del ortocentro respecto a los lados pertenecen a la circunferencia circunscrita.

Este problema fue resuelto por L.Carnot (padre del Carnot de la termodinámica) en su publicación 'Géométrie de position'. Como siempre, son bienvenidas demostraciones analíticas y sintéticas.

Sugerencia: Probar que el círculo que determinan dos vértices cualesquiera y el ortocentro, tiene el mismo radio que el círculo circunscrito.

Saludos

[Richard R Richard]

Quizá no entienda el problema

Spoiler

Pero si el ortocentro por definición tiene la misma distancia a cada vértice, y si por los vértices pasa una circunferencia, es lógico que el centro de la circunferencia y el ortocentro coincidan, luego si se aplica simetría justamente por el ortocentro el vértice opuesto simétrico tambien caerá sobre la circunferencia ya que se encuentra a la misma distancia radial del centro de la circunferencia...
No se que me pierdo, pero analiticamente se crea un punto a distancia 2r por la recta que une el vértice y el ortocentro , marcando el vértice opuesto.
y analiticamente la circunferencia pasa por un punto que sea diametralmente opuesto.


Si es así conceptualmente, plantear igualdades análiticas no es muy complicado y de hecho creo que es fácilmente resoluble.

[cerrar]

Saludos

[ancape]

Quizá no entienda el problema

Spoiler

Pero si el ortocentro por definición tiene la misma distancia a cada vértice, y si por los vértices pasa una circunferencia, es lógico que el centro de la circunferencia y el ortocentro coincidan, luego si se aplica simetría justamente por el ortocentro el vértice opuesto simétrico tambien caerá sobre la circunferencia ya que se encuentra a la misma distancia radial del centro de la circunferencia...
No se que me pierdo, pero analiticamente se crea un punto a distancia 2r por la recta que une el vértice y el ortocentro , marcando el vértice opuesto.
y analiticamente la circunferencia pasa por un punto que sea diametralmente opuesto.


Si es así conceptualmente, plantear igualdades análiticas no es muy complicado y de hecho creo que es fácilmente resoluble.

[cerrar]

Saludos

Hola
No sé si es porque te has despistado o porque 'ortocentro' es otra de tantas palabras que son iguales en España y Latinoamérica pero su significado es diferente. Aquí, el ortocentro es el punto en que se cortan las alturas de un triángulo. El punto que equidista de los vértices la llamamos circuncentro.
El título que puse en este hilo es más bien el de la sugerencia para demostrar el teorema de Carnot porque mi idea fue en un principio enunciar dos problemas.
Saludos

[Richard R Richard]

No sé si es porque te has despistado o porque 'ortocentro' es otra de tantas palabras que son iguales en España y Latinoamérica pero su significado es diferente. Aquí, el ortocentro es el punto en que se cortan las alturas de un triángulo. El punto que equidista de los vértices la llamamos circuncentro.

Ok , Ahora veo que mi interpretación era diferente... Así que con tiempo te propongo alguna solución , me divierte intentarlo, aunque casi nunca lo logro.


Saludos

[ani_pascual]

Hola

Problema del día:

Para cualquier triángulo, los simétricos del ortocentro respecto a los lados pertenecen a la circunferencia circunscrita.

Este problema fue resuelto por L.Carnot (padre del Carnot de la termodinámica) en su publicación 'Géométrie de position'. Como siempre, son bienvenidas demostraciones analíticas y sintéticas.

Sugerencia: Probar que el círculo que determinan dos vértices cualesquiera y el ortocentro, tiene el mismo radio que el círculo circunscrito.

Saludos

Hola:
Entonces... si el triángulo es \( \triangle{ABC} \) y el ortocentro y circuncentro son respectivamente \( O \) y \( D \), sería suficiente con hallar el punto de corte \( P \) de las mediatrices de los segmentos \( \overline{OC} \) y  \( \overline{OB} \), que sería el centro de la circunferencia que pasa por \( O,B,C \) y comprobar que la distancia \( d(P,O)=d(P,B)=d(P,C)=d(D,B)=d(D,C) \), (lo cual se puede hacer verificando que el punto medio del segmento \( \overline{DP} \) está en el lado \( \overline{BC} \) y que \( D \) y \( P \) están en la mediatriz de dicho lado), y así, por simetría, el simétrico de \( O \) respecto del lado \( \overline{BC}, \,O' \), estaría en la circunferencia circunscrita al triángulo. El mismo razonamiento para los simétricos de \( O \) respecto a los otros dos lados. Presiento que los cálculos teóricos han de ser farragosos 

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Marcar las 5 primeras casillas una a una en el ggb para ver la prueba. Continuar hasta la última para la circunferencia de Feuerbach o de los 9 puntos.
Alturas y ortocentro


Saludos,

[ancape]

... y así, por simetría, el simétrico de \( O \) respecto del lado \( \overline{BC}, \,O' \), estaría en la circunferencia circunscrita al triángulo.

Hola

Precisamente el que el simétrico del ortocentro esté en la circunferencia circunscrita es el teorema de Carnot que se pretende demostrar probando antes que las circunferencias tienen el mismo radio. Has demostrado que si pruebas el Teorema de Carnot entonces la circunferencia que pasa por el ortocentro de ABC y los puntos B y C tiene el mismo radio de la circunferencia circunscrita.

Saludos

[ancape]

Marcar las 5 primeras casillas una a una en el ggb para ver la prueba. Continuar hasta la última para la circunferencia de Feuerbach o de los 9 puntos.

.........

 
¡¡¡ Mucha artillería !!!

[ani_pascual]

Marcar las 5 primeras casillas una a una en el ggb para ver la prueba. Continuar hasta la última para la circunferencia de Feuerbach o de los 9 puntos.

¡Qué clarividencia!
 
Saludos

[ancape]

Hola

En respuestas anteriores, ani_pascual probaba que el Teorema de Carnot implica que el radio de la circunferencia que forman B,C y ortocentro es el mismo que el de la circunferencia circunscrita. Por otra parte Ignacio Larrosa, en los 5 primeros puntos de la hoja que adjunta, prueba el Teorema de Carnot, así la sugerencia que di y el Teorema de Carnot son equivalentes.
Gracias a los dos.

Saludos