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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 10 Septiembre, 2015, 06:41 am

Título: Límite de una circunferencia en el plano
Publicado por: Julio_fmat en 10 Septiembre, 2015, 06:41 am

Muestre que \( \displaystyle\lim_{p\to +\infty} C_p ((0,0);1)=C_{\infty} ((0,0);1). \)

Nota: \( C_p ((0,0);1)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x|^p+|y|^p=1\} \) y \( C_{\infty} ((0,0);1)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \max\{|x|,|y|\}=1\} \)

Spoiler

Hola, pienso que este límite tiende a \( +\infty \) por las potencias. ¿Pero cómo demostrarlo?

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Título: Re: Límite de una circunferencia en el plano
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Septiembre, 2015, 12:18 pm

Hola

 Tengo algo de prisa.

 La idea es que si \( (x,y)\in C_\infty \) entonces o bien \( x=\pm 1 \) o bien \( y=\pm 1 \), y en cualquier caso \( x,y\in [0,1]. \)

 Entonces por ejemplo si \( x=1 \) y \( |y|\neq 1 \), se tiene que \( |y|^p\to 0  \) cuando \( p\to \infty \) y así \( x_p=(1-|y|^p)^(1/p)\to 1 \). Por tanto tienes usa sucesión de puntos:

 \( (x_p,y)\in C_p \) que converge a \( (x,y) \)

Saludos.