Hola, Fernando, Feliz Año.
Hola, Feliz nuevo año
Mirando por internet me encuentro con esto (traducido): Tengo esta raíz: \( \alpha=\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{3} \) . Luego: \( (\alpha-\sqrt{3})^2- 2=0 \) .
"Por consiguiete" " \( \alpha \) " es la raíz de este polinomio: \( P(x) = x^2 - 2 \sqrt{3}x +1 \) .
¿Cómo lo hace? ¿Por qué es evidente?
Gracias de antemano
No es tanto como “evidente”, pero sí es fácil.
También podría haber despejado la raíz de 2 en vez de la de 3:
\( \alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}
\)
restando \( \sqrt{2}
\) a ambos lados
\( \alpha-\sqrt{2}=\sqrt{3}
\)
elevando al cuadrado a los dos lados
\( (\alpha-\sqrt{2})^{2}=3
\)
\( (\alpha-\sqrt{2})^{2}-3=0
\)
Y ahora, si alfa es un raíz de P(x), entonces \( (x-\alpha)=0\Rightarrow x=\alpha
\).
Sustituyendo
\( (x-\sqrt{2})^{2}-3=0
\)
desarrollando el cuadrado
\( x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x+2-3=0
\)
\( x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1=0
\)
...
Si ahora igualas lo que te dan ahí a partir de hacer el despeje de la otra forma, tienes
\( x^{2}-2\sqrt{3}\cdot x+1=x^{2}-2\sqrt{2}\cdot x-1
\)
cancelando x y restando 1 a los lados
\( -2\sqrt{3}\cdot x=-2\sqrt{2}\cdot x-2
\)
Sacando factor común -2 en la derecha
\( -2\sqrt{3}\cdot x=-2(\sqrt{2}\cdot x+1)
\)
cancelando el -2
\( \sqrt{3}\cdot x=\sqrt{2}\cdot x+1
\)
despejando “x” y sacando factor común “x”
\( x(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1
\)
y, ahora, como tienes que \( x=\sqrt{3}+\sqrt{2}
\)
sustituyendo
\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1
\).
Y es lo mismo.
Saludos.
