[argentinator]

Gracias, lo acabo de arreglar.

[enloalto]

Mi duda que tenía es, por ejemplo, en R, la topología usual es generada por los intervalos abiertos (a,b), y la topología del límite inferior, por los intervalos semiabiertos, [a,b), y por el Lema 13.4 ésta estrictamente más fina que la usual, por eso pensé que en el ejercicio 13.8 podía pasar algo similar.

[enloalto]

Bueno argentinator, ya tengo sueño, voy a dormirrrrrrrrrrrrrrrr, saludos, mañana sigo con mis dudas, cuidate.

[argentinator]

No entiendo bien cuál te imaginás que es estrictamente más fina que cuál...

Supongamos que tenemos las topologías:

\( \tau_1 \): generado por los intervalos abiertos de extremos diádicos.
\( \tau_2 \): generado por los intervalos abiertos de extremos racionales.
\( \tau_3 \): generado por los intervalos abiertos de extremos arbitrarios.
\( \tau_4 \): generado por los intervalos semiabiertos a derecha (o sea, la del límite inferior).

Se tiene que:

\( \tau_1=\tau_2=\tau_3  \subsetneqq \tau_4 \).

La inclusión \(   \subsetneqq \) es sinónima de la frase "estrictamente menos fina que".

Ser más fina quiere decir "tener más elementos".
Ser menos fina quiere decir "tener menos elementos".

Fijate que lo que ocurre en los tres primeros casos es que se trata sólo de intervalos "abiertos".
Nunca se incluyen los extremos.
Cuando pasemos a la teoría de puntos límites y conjuntos cerrados, vamos a ver, como a lo mejor ya sepas, que los extremos de los intervalos son puntos especiales: son puntos límite de los intervalos abiertos.

Si agregamos esos puntos limite, el conjunto obtenido ya no es abierto...
Si ahora se nos ocurre inventar una topología que sí contenga conjuntos con esos puntos límite como miembros de sí misma (ya se trata de su base, o de donde vengan), es absolutamente seguro que la topología va a ser otra distinta.

El hecho de que \( \tau_4 \) sea a su vez más fina,
resulta simplemente por el hecho de que un intervalo abierto (de la base "usual") puede "generarse" con intervalos semiabiertos, y por lo tanto los "intervalos abiertos (a, b)" son también "abiertos" de \( \tau_4 \):

\( (a,b)=\bigcup_{\epsilon>0}[a+\epsilon,b) \)


Se puede complicar más la cosa todavía:

Considerar las topologías siguientes:
\( \tau_5 \): generado por los intervalos semiabiertos de extremos "diádicos" \( [m2^{-k},(m+1)2^{-k}) \).
\( \tau_6 \): generado por los intervalos semiabiertos de extremos "racionales" \( [c,d) \).

En este caso, ya no es fácil establecer relaciones entre las bases respectivas tal como se han indicado para \( \tau_3,\tau_5.\tau_6,\tau_4 \).
Está todo más "enrededado".

Sin embargo, se tiene que

\( \tau_3  \subsetneqq\tau_5 \)
\( \tau_3  \subsetneqq\tau_6 \)

porque esas topologías siguen generando a cualesquiera intervalos "abiertos" (a,b).

Sin embargo, se tienen las siguiente relaciones, aunque en forma estricta:

\( \tau_5  \subsetneqq\tau_6 \subsetneqq \tau_4 \)

¿Podrías argumentar por qué?
¿O estás en desacuerdo?

Fijate en en el paralelismo de las definiciones de las primeras 3 topologías con las últimas 3, y sin embargo como es que las relaciones entre ellas se dan de forma diferente.

Te molesto con estos ejemplos, porque las vicisitudes de la topología del limite inferior ofrece ejemplos muy interesantes.

Uno puede buscar o estudiar engendros similares, por ejemplo preguntarse por \( R_K \) y "similares".

[argentinator]

Bueno, te dejo ir a dormir.
Que descanses.

Yo voy a tratar de continuar, a ver si te alcanzo el ritmo, que vas por delante de mí, jaja.

[enloalto]

Me parece muy bueno que hayas mencionado los diádicos, pues los he visto en varios temas. Por eso(si es posible) quiero tratar de estudiarlos con detalle.

Hay otro ejemplo: considerar los intervalos de la forma
\( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera.

He visto en algunos textos que piden que \( k\geq{0} \) y \( 0\leq{m\leq{2^k}} \)

Esta es la familia de intervalos diádicos, y claramente es una familia estrictamente más chica que la de los intervalos de extremos racionales.

Sea \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera, pero, tanto \( \displaystyle\frac{m}{2^k} \) y \( \displaystyle\frac{m+1}{2^k} \) son racionales, luego, \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \) es un elemento de la familia de intervalos abiertos con extremos racionales.

Aún así, forman una base para la topologia usual. 

Sean \( a,b\in{\mathbb{R}} \), con \( a<b \), entonces \( 0<b-a \), entonces existe un entero, que lo denotaré por \( n_{ab} \), tal que
\( 0<\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<b-a \). Luego
Por otra parte, sabemos que
\( 2^{n_{ab}}a<[2^{n_{ab}}a]+1=[2^{n_{ab}}a+1]\leq{2^{n_{ab}}a+1} \), donde [] es la parte entera, luego

\( a=\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a}{2^{n_{ab}}}<\displaystyle\frac{[2^{n_{ab}}a+1]}{2^{n_{ab}}}\leq{\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a+1}{2^{n_{ab}}}}=a+\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<a+b-a=b \)

Luego, tenemos que existen enteros, \( n_{ab} \) y \( m_{ab}=[2^{n_{ab}}a+1] \) tales que \( a<\displaystyle\frac{m_{ab}}{2^{n_ab}}<b \).

Moraleja: "entre dos números reales cualesquiera (racionales o irracionales) existe un número diádico"

Deseo probar que la familia de los intervalos diádicos forma una base de la topología usual, por el Lema 13.2, sea \( (a,b) \) un intervalo abierto, por probar que para cualquier \( x\in{(a,b)} \), existe un intervalo diádico, \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera, tal que \( x\in{\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)}\subset{(a,b)} \).

Sea \( x\in{(a,b)} \), entonces \( a<x<b \), por la moraleja, existen enteros \( m_{ax},n_{ax},m_{xb},n_{xb} \) tales que
\( a<\displaystyle\frac{m_{ax}}{2^{n_{ax}}}<x<\displaystyle\frac{m_{xb}}{2^{n_{xb}}}<b \)
Pero aca tengo problemas, pues no sé cómo conseguir el intervalo diádico pedido.

Profe ayuda porfa!!!

[enloalto]

Vayamos a los ejemplos.

 \(  \bullet \) Ejemplo 1. En el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), con la relación de orden usual, tenemos una topología del orden, claro está, pero los intervalos de la base son sólo del tipo (1), ya que en \( \mathbb{R} \) no hay elementos que sean el mínimo ni el máximo (dado un \( c\in\mathbb{R} \), siempre existen \( a, b\in\mathbf{R} \) tales que \( a<c \) y \( c<b \)).
Se deja como ejercicio comprobar que la topología del orden en \( \mathbb{R} \) es la misma que la topología estándar.

La topología usual de \( \mathbb{R} \) es la formada sólamente por la colección de intervalos abiertos \( (a,b) \) y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.

• Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) con el orden de diccionario:
  
  
  \( {\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1 \) ó \( a_1=b_1, a_2 < b_2. \)
  
  Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
  

Supongamos que existe un \( P=(x_0,y_0)\in{\mathbb{R}\times{R}} \) elemento mínimo, entonces
\( (x_0,y_0)<(x,y) \), para cualquier \( (x,y)\in{\mathbb{R}\times{R}} \), entonces tenemos dos casos:
i) \( x_0<x \), para todo \( x\in{\mathbb{R}} \), lo cual es falso.
ii) \( (x_0=x) \) y \( y_0<y \), para todo \( y\in{\mathbb{R}} \), lo cual también es falso.

Por tanto, \( \mathbb{R}\times{R} \) no tiene elemento mínimo.
De la misma forma, se prueba que \( \mathbb{R}\times{R} \) no tiene elemento máximo.[/list]

[argentinator]

La topología usual de R es la formada sólamente por la colección de intervalos abiertos (a,b) y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.

La expresión correctamente escrita sería así:

La topología usual de R es la generada sólamente por la colección de intervalos abiertos (a,b) y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.


Sin embargo, se puede dar menos vueltas.
Ambas bases, la estándar y del orden son exactamente iguales en este caso, o sea, iguales como conjuntos. O sea, es una y la misma base.

Y como una base sólo puede generar una sola topología,
naturalmente las dos topologías son iguales.

O sea, demostrar que dos bases distintas generan la misma topología, puede tener algo de complicación... pero si dos bases son iguales... más iguales son sus topologías!!!


Lo que has escrito sobre los minimos y maximos del ejemplo 2 está bien.

[argentinator]

En el siguiente ejercicio creo que los errores que he encontrado son más bien de redacción que de razonamiento. Te los marco en rojo.

Solución 16.1:
Sea \( \tau_ \) la topología de X, entonces sabemos que \( \tau_y=\{Y\cap {U}|U\in{\tau}\} \)
Como \( A\subseteq{Y} \), entonces \( \tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\} \)
pero también \( A\subseteq{X} \), por tanto, también existe \( \tau^X_A=\{A\cap{Z}|Z\in{\tau}\} \).

Probemos que \( \tau^X_A=\tau^Y_A \).

Esta línea no se entiende nada:

\( \color{red}\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}=\{A\cap{W}|\exists{U\in{\tau}|W=Y\cap U}}=\{A\cap({Y\cap{U}})|U\in{\tau}}=\{A\cap U|U\in{\tau}\}=\tau_X_A \)

Una manera más detallada es:
i) Sea \( T\in{\tau^Y_A} \), entonces existe \( W\in \tau_y \) tal que
\( T=A\cap{W} \), pero como \( W\in \tau_y \), entonces existe un \( U\in{\tau} \) tal que \( W=Y\cap{U} \), luego
\( T=A\cap{W}=A\cap({Y\cap{U}})=(A\cap{Y})\cap{U}=A\cap{U} \), con \( U\in{\tau} \), luego \( \color{red}\cancel{T\in{\tau^X_A}} \) \( {\color{blue}\Rightarrow}{\tau^Y_A\subseteq{\tau^X_A}} \).

ii) Sea \( T\in{\tau^X_A} \), entonces existe \( W\in \tau \) tal que
\( T=A\cap{W} \), pero como \( \color{red}\cancel{A\cap Y} \) \( A\subset  Y \), entonces \( A=A\cap Y \), luego
\( T=A\cap{W}=A\cap{Y}\cap{W} \).
Como se tiene \( W\in \tau \), entonces \( Z=W\cap{Y}\in{\tau^Y_A} \), de donde
\( T=A\cap{Y}\cap{W}=A\cap({Y}\cap{W})=A\cap{Z} \), con \( Z\in{\tau^Y_A} \), luego \( T\in{\tau^Y_A} \)
\( {\color{blue}\Rightarrow}{\tau^X_A\subseteq{\tau^Y_A}} \).

De (i) y (ii) se tiene que:
\( \tau^X_A=\tau^Y_A \).
[/size]

Las flechitas que te marqué azul indican que "no me gusta" esa flecha ahí.
Estás poniendo un signo de implicación para "rematar" toda una cadena de razonamientos.

La implicación es una operación lógica entre dos "operandos" consecutivos, que son proposiciones lógicas.
Pero la conclusión final de un razonamiento no es lo mismo.

Al terminar un razonamiento se debe usar la palabra entonces.

Ante cualquier duda al respecto, podrías repasar lo que puse en la teoría de la Sección 1, en el spoiler de las tablas de verdad. Allí explico la diferencia, e incluso uso una "flecha distinta" para indicar el "entonces".

Se suelen confundir los usos de "implica que" y "entonces", pero eso es por la forma en que el modus ponens se compenetra con la operación de implicación.

[argentinator]

Solución16.2:
Como \( \tau^{\prime} \) es estrictamente más fina que \( \tau \), \( \tau\subsetneqq{\tau^{\prime}} \).

Sean \( \tau_Y \) y \( \tau^{\prime}_Y \) las topologías de subespacio sobre \( Y \) heredadas respecto a las topologías \( \tau \) y \( \tau^{\prime} \).

Sea \( U\in{\tau_Y} \), entonces existe un \( W\in{\tau} \) tal que
\( U=Y\cap{W} \), como \( W\in{\tau}\subseteq{\tau^{\prime}} \), entonces \( U\in{\tau^{\prime}_Y} \)

Por tanto, \( \tau_Y\subseteq{\tau^{\prime}_Y} \).

Lo que sigue no está bien:

Por otra, parte, puesto que \( \tau_\subsetneqq{\tau^{\prime}} \), entonces, existe un \( U\in{\tau^{\prime}} \) tal que \( {\color{red} U}\not\in{\tau} \), de donde existe un
\( W=Y\cap U \), con \( U\in{\tau^{\prime}} \) y \( U\not\in{\tau} \), esto es
\( W\in{\tau^{\prime}_Y} \) y \( W\not\in{\tau_Y} \),
\( \tau_Y\subsetneqq{\tau^{\prime}_Y} \).
Es decir, \( \tau^{\prime}_Y \). es estrictamente más fina que \( \tau_Y \).

Para ver que la última parte no está bien, te dejo buscar los errores en el razonamiento, yo tan sólo me limitaré a mostrar un ejemplo donde la situación que "demostraste" no se cumple.

Tomemos el Ejemplo 2 de la sección 16.

Llamemos aquí \( X=[0,1)\cup \{2\} \), o sea, este es nuestro espacio y dejemos la letra \( Y \) para un subespacio más pequeño...

Se puede ver que todo elemento de la base de la topología del orden \( \tau  \)es también un elemento de la base de la topología de subespacio \( \tau ' \)de la estándar de la recta real.
Sin embargo, en esta última el conjunto \( \{2\} \) es abierto, mientras que en \( \tau  \) no lo es.

Así que \( \tau  \subsetneqq \tau ' \)

Ahora consideremos el conjunto \( Y=(0,1) \).
En este caso, las topologías de subespacio \( \tau _Y \) y \( \tau _Y' \) coinciden, porque sus bases contienen ahora los mismos elementos.

Hay que comprobar los detalles, pero por ahí va la cosa.


Así que en general, puede afirmarse que:

\( \tau _Y' \) es más fina que \( \tau _Y \), pero NO puede asegurarse que sea estrictamente más fina.

Se puede disentir... Lo importante es llegar a estar convencido.
Yo nunca lo estoy, jeje.