[argentinator]

Tomemos el ejemplo que has elegido de la base de \(  \mathbb{R}_K \):
\( B=(-1,1)-K \).

Te has posicionado en el punto x = 0 para buscar una contradicción.
Bien. Es cierto que los intervalos [0, b) cumplen que \( x\in [0, b) \) y que además \( [0,b) \) no está incluido en B. Basta tomar un \( n\in Z^+ \) lo bastante grande como para que \( 1/n< b \), y listo.

Pero también hay otros intervalos \( I = [a,b) \) que contienen a x = 0.
Todos los posibles son aquellos que \( a \leq 0 < b \).
Basta decir ahora que para un tal intervalo se obtiene también la contradicción, porque tomando \( y= 1/n < b \), de nuevo ese punto no está en \( [a, b) \).

Faltaría ver la recíproca.
Es más fácil todavía.
Consideremos el elemento \( [0, b) \) de la base de \( \mathbb{R}_\ell \).
Supongamos que \( I = (c,d) \) es un elemento de la base de \( \mathbb{R}_K \) que contiene al 0. Necesariamente entonces \( c < 0 < d \).
Si ahora exigimos que I esté contenido en \( [0,b) \), necesariamente \( 0 \leq c < b \).
Se obtienen las exigencias: \( c<0 \), y \( 0 \leq c \), que son contradictorias.

Resta ver los elementos del tipo \( I = (c,d)-K \). Pero el razonamiento es casi el mismo.

Saludos

[enloalto]

Hola a todos, argentinator, vi tus mensajes y los de alefa, sobre el ejercicio 13.6, sólo los he ordenado en el mensaje numero 81, si puedes lo revisas, y me ayudas con el item (c) ejercicio 13.4.

Saludos.

[argentinator]

Solución 13.6:

Sean \( \tau_l \) y \( \tau_k \) las topologías de \( \mathbb{R}_l \) y \( \mathbb{R}_k \) respectivamente.
i) \( \tau_l\not\subseteq{\tau_k} \)
Tomemos un elemento básico de \( \tau_l \), sea \( [0,b) \). Supongamos que: \( \tau_l\subseteq{\tau_k} \), entonces existe un elemento básico de \( \tau_k \),\( (c,d) \) ,tal que para todo \( x\in{[0,b)} \)(en particular a 0), se tiene,
\( 0\in{(c,d)\subseteq{[0,b)}} \)
Tenemos que \( c<0<d \) y \( 0\leq{c}>b \)
lo cual es una contradicción, dicha contradicción vino de suponer que
\( \tau_l\subseteq{\tau_k} \).
Por tanto, \( \tau_l\not\subseteq{\tau_k} \)

Esta parte tiene un error, pequeño, pero importante.
Los conjuntos de la base de \( \mathbb{R}_K \) son de dos tipos, y por lo tanto, hay que considerar las dos posibles alternativas.
Pueden ser del tipo "intervalo abierto" (a, b) o del tipo (a, b) - K.
Si el elemento de la base a considerar es del tipo (a, b), la prueba sigue como has indicado.
Si fuera de la forma (a, b) - K, la prueba sigue de modo algo similar, pero hay que escribirlo.

La importancia del error está justamente en que "no se lo ha visto".
Todas las alternativas han de ser consideradas, porque justo lo que se escapa puede ser lo que haga la diferencia.
En este caso no, pero... nunca se sabe.

Saludos

[enloalto]

Hola argentinator, ya corregí mi solución, pero me queda una espina, es que en el caso de que el elemento básico es (c,d)-K, he hecho lo mismo, ¿está bien?
Saludos.

[enloalto]

Ejercicio 13.7. Considere las siguientes topologías sobre \( \mathbb{R} \):
\( \tau_1= \) la topología usual.
\( \tau_2= \) la topología de \( \mathbb{R}_K \).
\( \tau_3= \) la topología de los complementos finitos.
\( \tau_4= \) la topología del límite superior, con todos los conjuntos \( (a,b] \) como base.
\( \tau_5= \) la topología con todos los conjuntos \( (-\infty,a)=\{x\in{\mathbb{R}}:x<a\} \) como base.

Determine las posibles relaciones de inclusión entre estas topologías
Solución 13.7:

Sabemos que
\( \tau_1\subseteq{\tau_2} \)
\( \tau_1\subseteq{\tau_4} \)
donde la inclusión es estricta y no se da en sentido contrario.
..........

[enloalto]

Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable

\( \mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \)

es una base que genera la topología usual sobre \( \mathbb{R} \).
(b) Demuestre que la colección

\( \mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
 \)

es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre \( \mathbb{R} \).

Solución 13.8:
(a)
Lema 13.2. Sea \( X \) un espacio topológico. Supongamos que \( \mathfrak{C} \) es una colección de conjuntos abiertos de \( X \) tal que, para cada conjunto abierto \( U \) de \( X \) y cada \( x\in{U} \), existe un elemento \( C \) de \( \mathfrak{C} \) tal que \( x\in{C}\subseteq{U} \). Entonces \( \mathfrak{C} \)  es una base para la topología de \( X \).

Entonces, debemos probar que para cualquier conjunto abierto,\( U \), de \( \mathbb{R} \)(especto a la topología usual), y para cada \( x\in{U} \), existe un elemento de \( B \) de \( \mathfrak{B} \) tal que \( x\in{B\subseteq{U}} \).

Bien, con eso en mente, elijamos un abierto de la topología usual, \( U \), sea \( x\{U} \) un elemento arbitrario, entonces existe un intervalo abierto \( (c,d) \) \( c<d \), tal que \( x\in{(c,d)}\subset{U} \), entonces tenemos
\( c<x<d \). Como \( c<x \) y \( x<d \), por el ejercicio 9(d) del capítulo 1 sección 4(Los enteros y los números reales) existen un a,b racionales, tales que \( c<a<x \) y \( x<b<d \), es decir, existe un intervalo abierto \( (a,b) \) con \( a,b \) racionales, esto es, existe \( (a,b)\in{\mathfrak{B}} \) tal que \( a<x<b \) y \( (a,b)\subseteq{(c,d)}\subset{U} \), y por el Lema 13.2 se tiene el resultado.

(b)

Dame una manito argentinator, ya??
Saludos.
CORREGIDO VER RESPUESTA 127

[enloalto]

Bueno siguendo con los ejercicios, paso a los ejercicios de la seccion 16, que comprende, La Topología del orden, La Topología del producto sobre \( X\times{Y} \) y La Topología de subespacio.
Ejercicio 16.1. Pruebe si \( Y \) es un subespacio de \( X \) y \( A \) es un subconjunto de \( Y \), entonces la topología que \( A \) hereda como subespacio de \( Y \) es la misma que la topología que hereda como subespacio de \( X \).

Solución 16.1:
Sea \( \tau_ \) la topología de X, entonces sabemos que \( \tau_y=\{Y\cap {U}|U\in{\tau}\} \)
Como \( A\subseteq{Y} \), entonces \( \tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\} \)
pero también \( A\subseteq{X} \), por tanto, también existe \( \tau^X_A=\{A\cap{Z}|Z\in{\tau}\} \).

Probemos que \( \tau^X_A=\tau^Y_A \).

\( \color{red}\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}=\{A\cap{W}|\exists{U\in{\tau}|W=Y\cap U}}\}=\{A\cap({Y\cap{U}})|U\in{\tau}}\}=\{A\cap U|U\in{\tau}\}=\tau^X_A \)

Una manera más detallada es:
i) Sea \( T\in{\tau^Y_A} \), entonces existe \( W\in \tau_y \) tal que
\( T=A\cap{W} \), pero como \( W\in \tau_y \), entonces existe un \( U\in{\tau} \) tal que \( W=Y\cap{U} \), luego
\( T=A\cap{W}=A\cap({Y\cap{U}})=(A\cap{Y})\cap{U}=A\cap{U} \), con \( U\in{\tau} \), luego
\( T=A\cap U \), con \( U\in{\tau} \), de donde se tiene que \( T\in{\tau^X_A} \).
Por tanto, \( {\tau^Y_A\subseteq{\tau^X_A}} \).

ii) Sea \( T\in{\tau^X_A} \), entonces existe \( W\in \tau \) tal que
\( T=A\cap{W} \), pero como \( A\subset Y \), entonces \( A=A\cap Y \), luego
\( T=A\cap{W}=A\cap{Y}\cap{W} \).
Como \( W\in \tau \), entonces \( Z=W\cap{Y}\in{\tau^Y_A} \), de donde
\( T=A\cap{Y}\cap{W}=A\cap({Y}\cap{W})=A\cap{Z} \), con \( Z\in{\tau^Y_A} \), luego \( T\in{\tau^Y_A} \).
En consecuencia \( {\tau^X_A\subseteq{\tau^Y_A}} \).

De (i) y (ii) se tiene que:
\( \tau^X_A=\tau^Y_A \).

[enloalto]

Ejercicio 16.2. Si \( \tau \) y \( \tau^{\prime} \) son dos topologías sobre \( X \) y \( \tau^{\prime} \) es estrictamente más fina que \( \tau \), ¿qué puede decir sobre las correspondientes topologías de subespacio sobre el subconjunto \( Y \) de \( X \)?

Solución16.2:
Como \( \tau^{\prime} \) es estrictamente más fina que \( \tau \), \( \tau\subsetneqq{\tau^{\prime}} \).

Sean \( \tau_Y \) y \( \tau^{\prime}_Y \) las topologías de subespacio sobre \( Y \) heredadas respecto a las topologías \( \tau \) y \( \tau^{\prime} \).

Sea \( U\in{\tau_Y} \), entonces existe un \( W\in{\tau} \) tal que
\( U=Y\cap{W} \), como \( W\in{\tau}\subseteq{\tau^{\prime}} \), entonces \( U\in{\tau^{\prime}_Y} \)

Corregido

Por tanto, \( \tau_Y\subseteq{\tau^{\prime}_Y} \).

Es decir \( \tau _Y' \) es más fina que \( \tau _Y \)

[enloalto]

Ejercicio 16.3. Consideremos el conjunto \( Y=[-1,1] \) como subespacio de \( \mathbb{R} \). ¿Cuál de los siguientes conjuntos son abiertos en \( Y \)?¿Cuales son abiertos en \( R \)?
\( A=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|<1}\right\}, \)
\( B=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|\leq{1}}\right\}, \)
\( C=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}\leq{|x|}<1}\right\}, \)
\( D=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}\leq{|x|}\leq{1}}\right\}, \)
\( E=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|0<|x|<1\wedge\displaystyle\frac{1}{x}\not\in{\mathbb{Z_+}}}\right\}. \)

Solución 16.3:
\( Y=[-1,1] \). Como no dicen que topología se utilizará, trabajaré con la usual, a saber, la generada por la colección \( \mathcal{B} \) de todos los intervalos abiertos en la recta real.
\( (a,b)=\left\{{x\in{\in{\mathbb{R}}}|a<x<b\}\right\} \)
1)
\( A=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|<1}\right\}, \)

Para que A sea un abierto en \( Y=[-1,1] \), debemos probar que existe un abierto
\( U \) de \( \mathbb{R} \) tal que \( A=[-1,1]\cap{U} \).
Sea \( x\in{A} \), entonces, \( \displaystyle\frac{1}{2}<|x| \) y \( |x|<1 \), de aquí,
\( \displaystyle\frac{1}{2}<x \) o \( x<-\displaystyle\frac{1}{2} \) y \( -1<x<1 \), es decir

\( x\in{\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right) }} \).

Por tanto \( A=\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)} \).
Como \( A\subseteq{[-1,1]} \), entonces\( A=[-1,1]\cap{A} \).
Como \( \left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right) \) y \( \left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right) \) son abiertos en \( \mathbb{R} \), entonces \( A=\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)} \) también es abierto en \( \mathbb{R} \), luego
\( A=[-1,1]\cap{A} \), con \( A \) abierto de \( \mathbb{R} \), entonces \( A \) es abierto en \( Y \).

[enloalto]

Ejercicio 16.4. Una aplicación \( f:X\rightarrow{Y} \) se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto \( U \) de \( X \), el conjunto \( f(U) \) es abierto en \( Y \). Pruebe que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) es definida por \( \pi_1(x,y)=x \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) es definida por \( \pi_2(x,y)=y \).

Sea \( W \) un elemento básico de \( X\times{Y} \), entonces existe elementos básicos \( V, U \) de \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W=V\times{U} \), entonces como \( \pi_1 \) es sobreyectiva, tenemos que \( \pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V \), luego \( \pi_1(W) \) es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora \( A\subseteq{X\times{Y}} \) un abierto, entonces existen \( W_\alpha \) elementos básicos tales que \( A=\bigcup_\alpha W_\alpha \), es decir, existen \( V_\alpha \) y \( U_\alpha \) elementos básicos de  \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha} \) y \( A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \).

Entonces \( \pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha  \), es decir, \( \pi_1(A) \) es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, \( \pi_1 \) es abierta.

De la misma manera, se prueba que \( \pi_2 \) es abierta.