En efecto, el límite sólo exige entornos agujereados en el dominio.
Pero en la imagen no.
Supongamos el siguiente ejemplo:
\( \displaystyle \lim_{x\to0} x\sen (1/x) \)
Claramente esa función no está definida en \( x=0 \), así que en el dominio hay que tomar entornos agujereados.
Pero eso no es lo que me interesa, sino observar que la función \( f(x) = x\sen(1/x) \) oscila muchísimo, pasando por 0 infinitas veces.
En realidad, lo hace cada vez que \( 1/(\pi x) \) es un entero \( k \).
Si dibujamos la función, veremos que "a ojo", "intuitivamente", parece ser que \( f(x) \) se aproxima cada vez más a 0 cuando \( x\to 0 \).
Si agujereamos la imagen de la función, como vos estás haciendo, entonces estaríamos diciendo que esta función no tiende a 0.
(Mientras que la definición correcta de límite respeta la intuición en este caso).
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Pero te pongo un caso más claro aún.
Si \( f(x) = L \), al agujerear la imagen en \( L \), estarías diciendo que ¡la función constante no tiende a nada!
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"Agujerear" el dominio se hace porque cuando uno estudia el límite, lo que le interesa es analizar lo que pasa "cerca" del punto \( x_0 \) al que uno desea acercarse.
Si uno "ve" que la función "tiende a algo" al acercarnos a \( x_0 \), aún cuando la función en \( x_0 \) no esté definida, o incluso esté definida pero tiene otro valor... entonces esa "tendencia" es lo que importa para definir límite.
¿Qué comportamiento o detalle cualitativo estarías analizando al "agujerear" la imagen?
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Entiendo que hayas preguntado esto, porque es natural darse cuenta la falta de "simetría" en el tratamiento del dominio y de la imagen.
Pero basta con analizar lo que se está haciendo en cada caso, y entender los motivos de una forma de proceder u otra.
